Loi inverse-gaussienne généralisée

Loi inverse-gaussienne généralisée
Paramètres	${\displaystyle \delta \geq 0,}$ ${\displaystyle \gamma \geq 0,}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$
Support	${\displaystyle [0,\infty [}$
Densité de probabilité	${\displaystyle \left({\frac {\gamma }{\delta }}\right)^{\lambda }{\frac {1}{2K_{\lambda }(\delta \gamma )}}x^{\lambda -1}e^{-{\frac {1}{2}}(\gamma ^{2}x+{\frac {\delta ^{2}}{x}})}}$
Espérance	${\displaystyle {\frac {\delta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma \ K_{\lambda }(\delta \gamma )}}}$
Mode	${\displaystyle {\frac {(\lambda -1)+{\sqrt {(\lambda -1)^{2}+(\delta \gamma )^{2}}}}{\gamma ^{2}}}}$
Variance	${\displaystyle \left({\frac {^{\delta }}{\gamma }}\right)^{2}\left[{\frac {K_{^{\lambda }+2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}-\left({\frac {K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}\right)^{2}\right]}$
Fonction génératrice des moments	${\displaystyle \left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma ^{2}-2t}}\right)^{\frac {\lambda }{2}}{\frac {K_{\lambda }({\sqrt {\delta ^{2}(\gamma ^{2}-2t}})}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}}$
Fonction caractéristique	${\displaystyle \left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma ^{2}-2it}}\right)^{\frac {^{\lambda }}{2}}{\frac {K_{\lambda }({\sqrt {\delta ^{2}(\gamma ^{2}-2it}})}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}}$

En théorie des probabilités et en statistique, la loi inverse-gaussienne généralisée (GIG, pour generalized inverse Gaussian distribution en anglais) est une loi de probabilité continue qui généralise la loi inverse-gaussienne en introduisant un troisième paramètre.

Cette loi est utilisée, par exemple, en géostatistique, en hydrologie ou en finance. Elle a été initialement proposée par le statisticien et hydrologue Étienne Halphen^[1], puis la loi a été popularisée par Ole Barndorff-Nielsen qui lui a donné son nom, ainsi que par Herbert Sichel , la loi est également connue sous le nom de loi de Sichel.

La notation ${\displaystyle X\sim GIG(\lambda ,\delta ,\gamma )}$ indique que la variable aléatoire X suit une loi inverse-gaussienne généralisée.

La densité de probabilité de la loi inverse-gaussienne généralisée est donnée par^[2] :

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle \left({\frac {\gamma }{\delta }}\right)^{\lambda }{\frac {1}{2K_{\lambda }(\delta \gamma )}}x^{\lambda -1}e^{-{\frac {1}{2}}(\gamma ^{2}x+{\frac {\delta ^{2}}{x}})}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle \scriptstyle K_{\lambda }}$ est la fonction de Bessel modifiée de troisième espèce et de paramètre ${\displaystyle \scriptstyle \lambda }$, et les paramètres vérifient :

${\displaystyle {\begin{cases}\delta \geq 0\;,\;\gamma >0\;&{\text{ si }}\lambda >0\;,\\\delta >0\;,\;\gamma >0\;&{\text{ si }}\lambda =0\;,\\\delta >0\;,\;\gamma \geq 0\;&{\text{ si }}\lambda <0.\end{cases}}}$

L'entropie de la loi inverse-gaussienne généralisée est donnée par :

${\displaystyle H(f(x))=\log \left({\frac {\delta }{\gamma }}\right)+\log \left(2K_{\lambda }\left(\delta \gamma \right)\right)-(\lambda -1){\frac {\left[{\frac {d}{d\nu }}K_{\nu }\left(\delta \gamma \right)\right]_{\nu =\lambda }}{K_{\lambda }\left(\delta \gamma \right)}}+{\frac {\delta \gamma }{2K_{\lambda }\left(\delta \gamma \right)}}\left(K_{\lambda +1}\left(\delta \gamma \right)+K_{\lambda -1}\left(\delta \gamma \right)\right)}$

où ${\displaystyle \left[{\frac {d}{d\nu }}K_{\nu }\left(\delta \gamma \right)\right]_{\nu =\lambda }}$ est la dérivée par rapport à l'ordre ${\displaystyle \nu }$ de la fonction de Bessel modifiée et évaluée en ${\displaystyle \nu =\lambda }$.

• Lorsque ${\displaystyle \scriptstyle \lambda =-1/2}$, la loi ${\displaystyle \scriptstyle {\text{GIG}}(-1/2,\delta ,\gamma )}$ est une loi inverse-gaussienne^[2].
• La loi gamma est un cas particulier de la loi inverse-gaussienne généralisée pour ${\displaystyle \scriptstyle \delta =0}$^[2].

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