Distribution q-exponentielle

q-exponentielle
Crédit image: IkamusumeFan licence CC BY-SA 4.0 🛈 Densité de probabilité
Paramètres	${\displaystyle q<2}$ paramètre de forme (réel) ${\displaystyle \lambda >0}$ paramètre d'échelle (réel)
Support	${\displaystyle x\in [0,\infty [{\text{ si }}q\geq 1}$ ${\displaystyle x\in \left[0,{\frac {1}{\lambda (1-q)}}\right]{\text{ si }}q<1}$
Densité de probabilité	${\displaystyle (2-q)\lambda e_{q}(-\lambda x)}$
Fonction de répartition	${\displaystyle 1-e_{q'}^{-\lambda x/q'}{\text{ si }}q'={\frac {1}{2-q}}}$
Espérance	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda (3-2q)}}{\text{ si }}q<{\frac {3}{2}}}$ sinon indéfinie
Médiane	${\displaystyle {\frac {-q'\ln _{q'}(1/2)}{\lambda }}{\text{ si }}q'={\frac {1}{2-q}}}$
Mode	0
Variance	${\displaystyle {\frac {q-2}{(2q-3)^{2}(3q-4)\lambda ^{2}}}{\text{ si }}q<{\frac {4}{3}}}$
Asymétrie	${\displaystyle {\frac {2}{5-4q}}{\sqrt {\frac {3q-4}{q-2}}}{\text{ si }}q<{\frac {5}{4}}}$
Kurtosis normalisé	${\displaystyle 6{\frac {-4q^{3}+17q^{2}-20q+6}{(q-2)(4q-5)(5q-6)}}{\text{ si }}q<{\frac {6}{5}}}$

La distribution q-exponentielle est une distribution de probabilité résultant de la maximisation de l'entropie de Tsallis sous des contraintes appropriées, notamment en contraignant le domaine à être positif. Elle est une généralisation de la distribution exponentielle de la même manière que l'entropie de Tsallis est une généralisation de l'entropie de Boltzmann-Gibbs ou de l'entropie de Shannon^[1],[2]. La distribution exponentielle est obtenue comme cas particulier lorsque ${\displaystyle q\to 1}$.

Elle s'obtient également en inversant la transformation de Box–Cox avec ${\displaystyle q=1-\lambda }$. Cette transformation obtenue par George Box et David Cox en 1964^[3] est une méthode de stabilisation de la variance d'une distribution.

Ses caractéristiques sont données dans le tableau ci-contre où ${\displaystyle e_{q}}$ est la q-exponentielle définie par :

${\displaystyle e_{q}(x)=\max\{[1+(1-q)x]^{\frac {1}{1-q}},0\}}$

Elle est un cas particulier de la distribution de Pareto généralisée avec

${\displaystyle \mu =0,\quad \xi ={\frac {q-1}{2-q}},\quad \sigma ={\frac {1}{\lambda (2-q)}}}$

Lorsque q > 1, elle est équivalente à la distribution de Pareto de paramètres ${\displaystyle x_{m}={\frac {1}{\lambda (q-1)}}\,,\;k={\frac {2-q}{q-1}}}$ décalée pour avoir un support commençant à zéro.

Cette distribution s'est avérée être un modèle utilisable pour les retards des trains^[4] ou les problèmes de comminution^[5]. On la retrouve également en physique atomique et en optique quantique, par exemple dans les processus de création de condensats moléculaires via la transition par la résonance de Feshbach^[6] ou la relaxation du verre de spin^[7].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « q-exponential distribution » (voir la liste des auteurs).

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