Loi demi-normale

Loi demi-normale
Paramètres	${\displaystyle \sigma >0}$
Support	${\displaystyle y\in [0,+\infty [\,}$
Densité de probabilité	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
Fonction de répartition	${\displaystyle \int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)dx}$
Espérance	${\displaystyle {\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}}$
Variance	${\displaystyle \sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right)}$
Entropie	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log \left({\frac {\pi \sigma ^{2}}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}}$

En théorie des probabilités et en statistique, la loi demi-normale est un cas particulier de la loi normale repliée.

Soit ${\displaystyle X}$ une variable aléatoire de loi normale centrée, ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$, alors ${\displaystyle Y=|X|}$ est de loi demi-normale. En particulier, la loi demi-normale est une loi normale repliée de paramètre 0 et ${\displaystyle \sigma }$.

La densité de probabilité de la loi demi-normale est donnée par :

${\displaystyle f_{Y}(y;\theta )={\begin{cases}{\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)&{\text{ si }}y>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

L'espérance est :

${\displaystyle \mathbb {E} [Y]=\mu ={\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}}$.

En faisant le changement de variable : ${\displaystyle \theta ={\frac {\sqrt {\pi }}{\sigma {\sqrt {2}}}}}$, utile lorsque ${\displaystyle \sigma }$ est proche de zéro, la densité prend la forme :

${\displaystyle f_{Y}(y;\theta )={\begin{cases}{\frac {2\theta }{\pi }}\exp \left(-{\frac {y^{2}\theta ^{2}}{\pi }}\right)&{\text{ si }}y>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

L'espérance est alors :

${\displaystyle \mathbb {E} [Y]=\mu ={\frac {1}{\theta }}}$.

La fonction de répartition de la loi demi-normale est donnée par :

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\begin{cases}{\displaystyle \int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x}&{\text{ si }}y>0\\[3pt]0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

En utilisant le changement de variable ${\displaystyle z=x/({\sqrt {2}}\sigma )}$, la fonction de répartition peut s'écrire

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,\int _{0}^{y/({\sqrt {2}}\sigma )}\exp(-z^{2})\,\mathrm {d} z={\mbox{erf}}\left({\frac {y}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}&{\text{ si }}y>0\\[3pt]0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

où erf est la fonction d'erreur.

La variance est :

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right).}$

Puisqu'elle est proportionnelle à la variance ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ de X, ${\displaystyle \sigma }$ peut être vu comme un paramètre d'échelle de cette nouvelle loi.

L'entropie de la loi demi-normale est

${\displaystyle H(Y)={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {\pi \sigma ^{2}}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}.}$

• La loi demi-normale est un cas particulier de la loi normale repliée avec μ = 0.
• ${\displaystyle ({\frac {Y}{\sigma }})^{2}}$ suit une loi du χ² à un degré de liberté.

• (en) loi demi-normale sur MathWorld.

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