Fonction zêta d'Ihara

En mathématiques, la fonction zêta d'Ihara est une fonction zêta associée à un graphe fini. Elle ressemble étroitement à la fonction zêta de Selberg, et est utilisé pour relier les chemins fermés au spectre de la matrice d'adjacence. La fonction zêta d'Ihara a tout d'abord été défini par Yasutaka Ihara dans les années 1960 dans le contexte de sous-groupes discrets des groupes spéciaux linéaires deux-par-deux p-adique. Jean-Pierre Serre a suggéré dans son livre Arbres que la définition originale d'Ihara peut être réinterprété dans la théorie des graphes. C'est Toshikazu Sunada qui a réalisé cette suggestion, en 1985. Comme l'a observé Sunada, un graphe régulier est un graphe de Ramanujan si et seulement si sa fonction zêta d'Ihara satisfait un analogue de l'hypothèse de Riemann^[1].

La fonction zêta d'Ihara peut être définie par une formule analogue au produit eulérien pour la fonction zêta de Riemann:

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta _{G}(u)}}=\prod _{p}({1-u^{L(p)}})}$

Ce produit est pris sur les marches premières p du graphe ${\displaystyle G=(V,E)}$ (c'est-à-dire les cycles fermé ${\displaystyle p=(u_{0},\ldots ,u_{L(p)-1},u_{0})}$) tels que

${\displaystyle (u_{i},u_{(i+1){\bmod {L}}(p)})\in E~;\quad u_{i}\neq u_{(i+2){\bmod {L}}(p)~},}$

et ${\displaystyle L(p)}$ est la longueur du cycle p, tel qu'utilisé dans les formules ci-dessus^[2]. Cette formulation en théorie des graphes est due à Sunada.

Ihara (et Sunada dans le contexte de la théorie des graphes) a montré que pour les graphes réguliers, la fonction zêta est une fonction rationnelle. Si G est k-régulier de matrice d'adjacence A, alors^[3]

${\displaystyle \zeta _{G}(u)={\frac {1}{(1-u^{2})^{\chi (G)-1}\det(I-Au+(k-1)u^{2}I)}}\ }$

où χ est le rang cyclique, le plus petit nombre d'arêtes qu'il faut retirer au graphe pour qu'il n'ait plus de cycles.

La fonction zêta d'Ihara est en fait toujours l'inverse d'un invariant polynomial du graphe:

${\displaystyle \zeta _{G}(u)={\frac {1}{\det(I-Tu)}}~,}$

où T est l'opérateur d'arête-adjacence de Hashimoto. Hyman Bass a donné une formule du déterminant impliquant l'opérateur d'adjacence.

La fonction zêta d'Ihara joue un rôle important dans l'étude de groupes libres, dans la théorie spectrale des graphes, et dans les systèmes dynamiques, en particulier e, symbolique dynamique, où la fonction zêta d'Ihara est un exemple d'une fonction zêta de Ruelle^[4].

• Yasutaka Ihara, « On discrete subgroups of the two by two projective linear group over ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-adic fields », J. Math. Soc. Japan, vol. 18,‎ 1966, p. 219–235 (zbMATH 0158.27702)
• Toshikazu Sunada, Curvature and Topology of Riemannian Manifolds, vol. 1201, 1986, 266–284 p. (ISBN 978-3-540-16770-9, DOI 10.1007/BFb0075662, zbMATH 0605.58046), « L-functions in geometry and some applications »
• H. Bass, « The Ihara-Selberg zeta function of a tree lattice », International. J. Math., vol. 3, n^o 6,‎ 1992, p. 717–797 (DOI 10.1142/S0129167X92000357, zbMATH 0767.11025)
• Harold M. Stark, Emerging Applications of Number Theory, vol. 109, New York, Springer, 1999, 601–615 p. (ISBN 0-387-98824-6, zbMATH 0988.11040), « Multipath zeta functions of graphs »
• Audrey Terras, Emerging Applications of Number Theory, vol. 109, New York, Springer, 1999, 643–681 p. (ISBN 0-387-98824-6, zbMATH 0982.11031), « A survey of discrete trace formulas »
• Audrey Terras, Zeta Functions of Graphs : A Stroll through the Garden, vol. 128, Cambridge University Press, 2010, 252 p. (ISBN 978-0-521-11367-0 et 0-521-11367-9, zbMATH 1206.05003)

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