Cette fonction Mf n'est jamais intégrable, sauf si f = 0. Il existe même f intégrable telle que Mf ne soit pas localement intégrable[2].
Inégalité maximale de Hardy-Littlewood
Pour toute application intégrable f sur ℝn et tout réel c > 0, on a(donc Mf est finie presque partout).
Pour toute fonction réellecroissanteF sur un intervalle réel [a , b] on a, de façon analogue[réf. souhaitée]
Pour toute fonction réelle croissante continueF sur [a , b], pour G étant l'une des quatre dérivées de Dini de F.
Démonstrations
Première inégalité. Quitte à passer ensuite à la limite quand d → c–, il suffit de montrer queet pour cela, par régularité intérieure, de montrer que pour tout compactK inclus dans [Mf > d],Pour tout point x de K, il existe un rayon rx > 0 tel quePar compacité, K est recouvert par un nombre fini de telles boules et l'on peut, d'après le lemme de recouvrement de Vitali dans le cas fini, choisir parmi elles des boules disjointes telles queOn a alors :
car les boules sont disjointes.
Deuxième inégalité. En procédant comme pour la première, il suffit de montrer que pour tout d > 0 et tout compact K inclus dans [ G > d ],Pour tout point x de K, il existe un réel hx non nul tel queNotons alors, pour ε > 0 fixé, Jx l'intervalle fermé d'extrémités x + hx et x – εhx (choisi ainsi pour qu'il contienne x + hx et soit un voisinage de x). Par compacité, K est recouvert par une famille finie et l'on peut même, en enlevant des Jx superflus, supposer qu'un point n'appartient jamais à plus de deux d'entre eux (car si trois intervalles ont un point commun, l'un des trois est inclus dans la réunion des deux autres). On a alors :
la dernière inégalité étant due à la croissance de F et au fait que les Jx se chevauchent au plus par deux. Ainsi,
En gardant les notations précédentes, on peut associer à toute mesure de Borel μ sur ℝn la fonction maximale Mμ définie par :
La propriété de semi-continuité inférieure et, si μ est finie, l'inégalité maximale, sont alors encore vraies et se démontrent de la même manière.
Notes et références
↑(en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « A maximal theorem with function-theoretic applications », Acta Mathematica, vol. 54, , p. 81–116.
↑(en) Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones & Bartlett, , 2e éd., 588 p. (ISBN 978-0-7637-1708-7, lire en ligne), p. 451-452.
↑(en) Terence Tao, An Introduction to Measure Theory, Providence, AMS, , 206 p. (ISBN 978-0-8218-6919-2, lire en ligne), p. 130-131.
↑(en) Andrew M. Bruckner , Judith B. et Brian S. Thomson, Real Analysis, , 713 p. (ISBN 978-0-13-458886-5, lire en ligne), p. 264-266.
Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]
Henri Lebesgue, Leçons sur la théorie de l'intégration et la recherche de fonctions primitives, Paris, Gauthier-Villars, , 2eéd., 342 p. (ISBN 2-87647-059-4)