Fonction d'appui
En analyse mathématique, et plus spécialement en analyse convexe, la fonction d'appui d'une partie P d'un espace normé réel E est la fonction convexe qui à toute forme linéaire continue s sur E associe la borne supérieure de s(P) dans ℝ.
Définition
La fonction d'appui d'une partie P d'un espace normé E est la fonction notée σP et définie par
où E' est le dual topologique de E et est la valeur de la forme linéaire continue s en x.
En particulier, (sup(∅) = –∞)[1].
Exemples
La fonction d'appui se présente naturellement dans un certain nombre de constructions en analyse et en analyse convexe.
- La fonction conjuguée de la fonction indicatrice d'une partie P de E est la fonction d'appui de P.
- La fonction d'appui de la boule unité de E est la norme canonique du dual E'.
- Si E est un espace euclidien et si f est une fonction convexe propre définie sur E à valeurs dans , sa dérivée directionnelle en un point x dans l'intérieur relatif de son domaine est la fonction d'appui du sous-différentiel de f en x (voir « Formule du max »).
Propriétés
- La fonction d'appui d'une partie quelconque est convexe car sous-linéaire.
- Elle est de plus « fermée », c'est-à-dire semi-continue inférieurement.
- Toute partie P a même fonction d'appui que son enveloppe convexe fermée co(P). Plus précisément :
. - A fortiori, toute partie a même fonction d'appui que son adhérence et que son enveloppe convexe :
.
Règles de calcul
- Somme pondérée d'ensembles
- Pour toutes parties P,Q de E et tous réels positifs α,β,
- Transformation par une application linéaire
- Soient F un autre espace normé, une fonction linéaire continue, son adjointe et P une partie de E.
- Alors s'écrit
.
Référence
- Aliprantis et Border 2007, p. 288 et 291.
Bibliographie
- (en) Charalambos D. Aliprantis et Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis : A Hitchhiker's Guide, Springer, , 3e éd. (1re éd. 1999) (lire en ligne)
- (en) J. M. Borwein et A. S. Lewis, Convex Analysis and Nonlinear Optimization, New York, Springer, , 2e éd. (1re éd. 2000) (lire en ligne)
- (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, (1re éd. 2001), 259 p. (ISBN 978-3-540-42205-1, lire en ligne)
- (en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, coll. « Princeton Mathematical Series » (no 28), (lire en ligne)