Potentiel de Pöschl-Teller

En physique mathématique, un potentiel de Pöschl-Teller, nommé d'après les physiciens Herta Pöschl^[1] (crédité comme G. Pöschl) et Edward Teller, est une classe spéciale de potentiels pour lesquels l'équation de Schrödinger à une dimension peut être résolue en termes de fonctions spéciales.

Bien que Pöschl et Teller introduisirent, dans leur article^[2] de 1933, le potentiel sous sa forme générale^[3]

${\displaystyle {\displaystyle V(x)={\frac {\nu (\nu -1)}{2\,\sinh ^{2}(x)}}-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2\,\cosh ^{2}(x)}}}\,,}$

pour ${\displaystyle \lambda ,\nu >1}$, de nos jours la dénomination « potentiel de Pöschl–Teller » fait plutôt référence au cas symétrique ${\displaystyle \nu =1}$ pour ${\displaystyle \lambda >0}$ :

${\displaystyle {\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2\,\cosh ^{2}(x)}}}\,.}$

Les solutions indépendantes du temps de l'équation (unidimensionnelle) de Schrödinger avec ce potentiel,

${\displaystyle {\displaystyle -{\frac {1}{2}}\psi ''(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)}\,,}$

peuvent alors être déterminées grâce à la substitution ${\displaystyle u=\mathrm {tanh} (x)}$ qui conduit à l'équation générale de Legendre

${\displaystyle \left[(1-u^{2})\psi '(u)\right]'+\lambda (\lambda +1)\psi (u)+{\frac {2E}{1-u^{2}}}\psi (u)=0}$

dont les solutions sont les fonctions associées de Legendre ${\displaystyle {\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(u)}}$ et ${\displaystyle {\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(u)}}$ de degré ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ et d'ordre ${\displaystyle \mu \in \mathbb {C} }$ lorsque ${\displaystyle {\displaystyle E={-\mu ^{2}/2}}}$.

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Nicoguaro

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Cependant, seules les fonctions ${\displaystyle {\displaystyle P_{\lambda }^{-\mu }\circ \tanh }}$ pour ${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$ tels que ${\displaystyle (\lambda \in \mathbb {N} {\text{ et }}\mu =\pm (\lambda +1-j))}$ ou ${\displaystyle (0<\lambda \not \in \mathbb {N} {\text{ et }}\mu =\lambda +1-j)}$, où ${\displaystyle j=1,\dots ,\lceil \lambda \rceil }$, sont dans ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$^[4] et donc des fonctions propres de l'opérateur de Pöschl–Teller symétrique. De plus, dans le cas ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {N} }$, la fonction ${\displaystyle {\displaystyle P_{\lambda }^{\lambda +1-j}\circ \tanh }}$ ne diffère de ${\displaystyle {\displaystyle P_{\lambda }^{-(\lambda +1-j)}\circ \tanh }}$ que par une constante multiplicative, il s'agit donc d'une seule et même fonction propre.

Par conséquent, l'opérateur de Pöschl–Teller symétrique n'admet des valeurs propres que pour ${\displaystyle \lambda >0}$ et ${\displaystyle {\displaystyle \mu =\lambda +1-j}}$, où ${\displaystyle j=1,\dots ,\lceil \lambda \rceil }$, et ces ${\displaystyle \lceil \lambda \rceil }$ valeurs propres sont alors ${\displaystyle E_{j}={-(\lambda +1-j)^{2}/2}}$, avec les fonctions propres associées ${\displaystyle {\displaystyle P_{\lambda }^{-(\lambda +1-j)}\circ \tanh }}$.

En outre, les données de diffusion à faible énergie peuvent être explicitement calculées^[5].

Dans le cas particulier où ${\displaystyle \lambda }$ est un entier naturel non nul^{[à vérifier]}, le potentiel est sans réflexion et de tels potentiels peuvent également être solutions N-solitons de l'équation de Korteweg–de Vries.

Un potentiel lié, le potentiel de Rosen-Morse, possède un terme supplémentaire^[6] :

${\displaystyle {\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2\,\cosh ^{2}(x)}}-g\tanh(x)}\,.}$

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