Coloration de régions

Crédit image:

Jan Winnicki

licence CC BY-SA 3.0 🛈

La coloration de régions^[1] est une technique de représentation des fonctions complexes. Le terme vient de l'anglais "domain coloring", inventé par Frank Farris aux alentours de 1998^[2],[3]. La couleur avait déjà été utilisée plus tôt pour visualiser les fonctions complexes, en général en associant l'argument à la couleur^[4]. La technique consistant à utiliser une variation continue de couleur pour associer les points de l'ensemble de départ à l'ensemble d'arrivée ou au plan image a été utilisée en 1999 par George Abdo et Paul Godfrey^[5]. Les grilles colorées ont été utilisées dans les graphiques par Doug Arnold en 1997^[6].

Une fonction réelle ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow {}\mathbb {R} }$ (par exemple ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$) peut être représentée graphiquement à l'aide de deux coordonnées cartésiennes dans un plan.

Le graphe d'une fonction complexe ${\displaystyle g:\mathbb {C} \rightarrow {}\mathbb {C} }$ d'une variable complexe requiert deux dimensions complexes. Le plan complexe étant lui-même à deux dimensions, le graphe d'une fonction complexe est un objet à quatre dimensions réelles. Cette particularité rend la visualisation de fonctions complexes dans un espace tridimensionnel difficile. L'illustration d'une fonction holomorphe peut se faire grâce à une surface de Riemann.

Étant donné un nombre complexe ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$, la phase (connue aussi comme l'argument) ${\displaystyle \theta }$ peut être représentée par la teinte.

Crédit image:

Djiboun

licence CC BY-SA 4.0 🛈

La disposition des teintes est arbitraire^[7] mais suit souvent l'ordre du cercle chromatique. La phase est parfois représentée par un dégradé plutôt que par la teinte.

Le module ${\displaystyle r=|z|}$ est représenté par l'intensité ou des variations d'intensité.

Crédit image:

Djiboun

licence CC BY-SA 4.0 🛈

Crédit image:

Djiboun

licence CC BY-SA 4.0 🛈

Il est possible d'ajouter aussi l'illustration des parties réelles et imaginaires des affixes du plan complexe à l'aide d'une grille.

Crédit image:

Djiboun

licence CC BY-SA 4.0 🛈

L'image suivante illustre la fonction sinus ${\displaystyle w=\sin(z)}$ entre ${\displaystyle -2\pi }$ et ${\displaystyle 2\pi }$ sur l'axe réel et de ${\displaystyle -1.5}$ à ${\displaystyle 1.5}$ sur l'axe imaginaire.

L'image suivante illustre la fonction ${\displaystyle f(z)={\tfrac {(z^{2}-1)(z-2-i)^{2}}{z^{2}+2+2i}}}$, en mettant en évidence les trois zéros (dont l'un est double) et les deux pôles.

Crédit image:

Djiboun

licence CC BY-SA 4.0 🛈

• Application conforme, où le domaine est coloré avec une image au lieu d'une table de couleurs

• Portail des mathématiques
• Portail de l’informatique
• Portail des couleurs