Polydisque

En mathématiques et plus particulièrement dans la théorie des fonctions de plusieurs variables complexes, un polydisque est un produit cartésien de disques.

Plus précisément, si ${\displaystyle z}$ est un nombre complexe et ${\displaystyle r}$ un nombre réel positif et si l'on désigne par ${\displaystyle D(z,r)}$ le disque ouvert de centre z et de rayon r dans le plan complexe C, alors un polydisque ouvert est un ensemble de la forme

${\displaystyle D(z_{1},r_{1})\times \dots \times D(z_{n},r_{n}).}$

Il peut être écrit de manière équivalente comme :

${\displaystyle \{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in {\mathbf {C} }^{n}:\vert z_{k}-w_{k}\vert <r_{k},{\mbox{pour tout}}\ k=1,\dots ,n\}.}$

Lorsque ${\displaystyle n=2}$ le terme « bidisque » est parfois utilisé.

Il ne faut pas confondre le polydisque avec la boule ouverte dans Cⁿ, qui est définie comme

${\displaystyle \{w\in \mathbf {C} ^{n}:\lVert z-w\rVert <r\}.}$

Ici, la norme ${\displaystyle \lVert \rVert }$ est la distance euclidienne dans Cⁿ.

Lorsque ${\displaystyle n}$ est strictement supérieur à 1, les boules ouvertes et les polydisques ouverts ne sont pas biholomorphiquement équivalents, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de morphisme holomorphe bijectif et d'inverse holomorphe entre les deux. Ce résultat a été prouvé (dans le cas où ${\displaystyle n=2}$) par Poincaré en 1907 en montrant que leurs groupes d'automorphismes ont des dimensions différentes en tant que groupes de Lie^[1].

Le polydisque est un exemple de domaine de Reinhardt logarithmiquement convexe.

• Cet article inclut des définitions de « polydisc », sur PlanetMath, 2013 (consulté le 7 juillet 2024), qui est sous licence Creative Commons Attribution/Share-Alike.

• Steven G Krantz, Function Theory of Several Complex Variables, American Mathematical Society, 2002 (ISBN 0-8218-2724-3)
• John P. D'Angelo, Several Complex Variables and the Geometry of Real Hypersurfaces, CRC Press, 1993 (ISBN 0-8493-8272-6)

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