Inégalité de Cauchy

L'inégalité de Cauchy, établie par Augustin Louis Cauchy, est une relation permettant d'estimer les dérivées d'une fonction holomorphe. Elle découle immédiatement de la formule intégrale de Cauchy.

Soit f une fonction holomorphe dans un disque de centre ω₀ et de rayon R et soit r un réel de ]0, R[. On note :

${\displaystyle M\left(r\right)=\sup\{|f\left(\omega \right)|\mid |\omega -\omega _{0}|=r\}}$.

Alors, pour tout entier naturel n,

${\displaystyle \left|{\frac {f^{(n)}\left(\omega _{0}\right)}{n!}}\right|\leq {\frac {M\left(r\right)}{r^{n}}}}$.

Voir le § Principale conséquence de l'article sur la formule intégrale de Cauchy.

On peut déduire le théorème de Liouville de cette inégalité.

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