Plan complexe

En mathématiques, le plan complexe (aussi appelé plan d'Argand, plan d'Argand-Cauchy ou plan d'Argand-Gauss) désigne un plan, muni d'un repère orthonormé, dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique. Le nombre complexe associé à un point est appelé l'affixe de ce point. Une affixe est constituée d'une partie réelle et d'une partie imaginaire correspondant respectivement à l'abscisse et l'ordonnée du point.

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On associe en général le plan complexe à un repère ${\displaystyle (O,{\vec {u}},{\vec {v}})}$ orthonormé direct. Dans un tel repère, tout point M est l'image d'un unique nombre complexe z qui est appelé affixe de cet unique point (le genre du nom affixe est discuté : le dictionnaire de l'Académie française le renseigne comme masculin^[2], les dictionnaires commerciaux l'annoncent comme féminin^[3]) : on note M(z).

Pour tout nombre complexe z tel que z=a+ ib où a et b sont des réels, on a la relation ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}=a{\vec {u}}+b{\vec {v}}}$. On peut ainsi dire que la partie réelle de z est l'abscisse de M et que la partie imaginaire de z en est son ordonnée.

D'après cette égalité, tous les points de l'axe ${\displaystyle (O,{\vec {u}})}$ sont tels que la partie imaginaire de leur affixe est nulle : leur affixe est donc un nombre réel. En conséquence, on appelle l'axe ${\displaystyle (O,{\vec {u}})}$ axe des réels.

De la même façon, tous les points de l'axe ${\displaystyle (O,{\vec {v}})}$ sont tels que la partie réelle de leur affixe est nulle : leur affixe est donc un nombre imaginaire pur. En conséquence, on appelle l'axe ${\displaystyle (O,{\vec {v}})}$ axe des imaginaires purs.

(a ; b) sont les coordonnées cartésiennes du point M, unique représentant du nombre z=a+ ib dans le plan complexe. On peut aussi écrire z avec les coordonnées polaires (r ; θ) du point M, ce qui correspond à l'écriture exponentielle z=r e^{i θ}. Dans ce cas, r est le module du nombre z et θ est un de ses arguments (modulo 2π).

La somme de deux vecteurs correspond à la somme de leurs affixes. Ainsi, la translation d'un vecteur donné correspond à l'addition de son affixe.

Une rotation d'un angle θ autour de l'origine correspond à la multiplication de l'affixe par le nombre e^iθ, qui est un nombre complexe de module 1.

Une homothétie de rapport k (réel) et de centre l'origine du plan correspond à la multiplication de l'affixe par k.

• Voyages au pays des maths

• Jean-Robert Argand, Essai sur une manière de représenter des quantités imaginaires dans les constructions géométriques, 1806, en ligne et commenté sur le site Bibnum

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