Résidu à l'infini

En analyse complexe, le résidu à l'infini est le résidu d'une fonction holomorphe sur une couronne de rayon extérieur infini. L'infini ${\displaystyle \infty }$ étant un point ajouté à l'espace localement compact ${\displaystyle \mathbb {C} }$ pour le rendre compact (il s'agit alors d'une compactification par un point). Cet espace compactifié noté ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}$ est identifié à la sphère de Riemann^[1].

Soit f une fonction holomorphe sur la couronne ${\displaystyle A(0,R,\infty )}$.

On définit le résidu à l'infini de la fonction ${\displaystyle f}$ comme suit :

${\displaystyle \mathrm {Res} (f,\infty )=\mathrm {Res} \left({-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right),0\right).}$

Intuitivement, on passe de l'étude de ${\displaystyle f(z)}$ à l'infini à l'étude de ${\displaystyle f(1/z)}$ à l'origine.

Par ailleurs, pour tout ${\displaystyle r>R}$, on a :

${\displaystyle \mathrm {Res} (f,\infty )={-1 \over 2\pi i}\int _{C(0,r)}f(z)~\mathrm {d} z.}$

Les relations ci-dessus permettent de renforcer le théorème des résidus pour calculer certaines intégrales réelles.

Tel qu'on l'a défini plus haut et en effectuant le changement de variable ${\displaystyle w=z^{-1}}$ pour passer de ${\displaystyle f(w)}$ à ${\displaystyle f\left(z^{-1}\right)}$, on a :

${\displaystyle \mathrm {Res} (f,\infty )={1 \over 2\pi i}\int _{C(0,r')}{-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right)~\mathrm {d} z}$

où l'on a considéré la définition d'un résidu. L'intégrale est indépendante de r' tel que ${\displaystyle 0<r'<R^{-1}}$ et on peut donc considérer en particulier le cas ${\displaystyle r'=r^{-1}}$ (avec ${\displaystyle r>R}$ comme indiqué plus haut).

Le membre de droite prouve la première équivalence puisqu'il correspond à ${\displaystyle \mathrm {Res} \left({-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right),0\right)}$.

On peut développer l'intégrale en considérant la paramétrisation habituelle du cercle : ${\displaystyle z=r^{-1}\exp(it)}$ :

${\displaystyle \int _{C(0,1/r)}{-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right)~\mathrm {d} z=\int _{0}^{2\pi }-r^{2}e^{-2it}f\left(re^{-it}\right){i \over r}e^{it}~\mathrm {d} t.}$

Or cette dernière expression est égale à :

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }f\left(re^{-it}\right)\cdot \left(-ire^{-it}\right)~\mathrm {d} t=\int _{C^{*}(0,r)}f(z)~\mathrm {d} z}$

où l'exposant * indique que le chemin est parcouru dans le sens opposé (sens anti-trigonométrique). En insérant ce dernier résultat dans l'équation de départ, nous avons finalement :

${\displaystyle \mathrm {Res} (f,\infty )={-1 \over 2\pi i}\int _{C(0,r)}f(z)~\mathrm {d} z}$

où l'on a utilisé la propriété des intégrales curvilignes indiquant que la valeur de l'intégrale d'une fonction holomorphe le long d'un chemin ${\displaystyle \gamma }$ est opposée à la valeur de l'intégrale sur ce même chemin parcouru dans le sens opposé ${\displaystyle \gamma ^{*}}$.

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Phyton~ne

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Ce théorème peut s'avérer efficace dans le calcul d'intégrales définies. Considérons par exemple de calculer par le biais des résidus l'intégrale suivante :

${\displaystyle I=\int _{-1}^{1}{\mathrm {d} x \over {\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

L'intégrale peut être calculée en utilisant les méthodes habituelles de l'analyse réelle et le résultat est ${\displaystyle I=\pi }$.

Il existe une détermination holomorphe de ${\displaystyle {\sqrt {1-z^{2}}}}$ sur l'ouvert ${\displaystyle U=\mathbb {C} \backslash [-1,1]}$ :

${\displaystyle {\sqrt {1-z^{2}}}={\sqrt {1-z}}{\sqrt {1+z}}={\sqrt {|1-z|}}\mathrm {e} ^{i\theta _{1}/2}{\sqrt {|1+z|}}\mathrm {e} ^{i\theta _{2}/2}}$

avec ${\displaystyle \theta _{1}\in [0,2\pi [}$ et ${\displaystyle \theta _{2}\in [-\pi ,\pi [}$ (c'est la détermination principale).

Soit le contour ${\displaystyle \gamma }$ entourant la discontinuité et illustré sur la figure.

Il est clair que ce contour est homotope au cercle ${\displaystyle C(0,R)}$ centré à l'origine et de rayon R>1.

On a donc :

${\displaystyle I^{*}=\int _{\gamma }f(z)~\mathrm {d} z=\int _{C(0,R)}f(z)~\mathrm {d} z=-2i\pi \mathrm {Res} (f,\infty ).}$

Commençons par calculer le résidu à l'infini :

${\displaystyle \mathrm {Res} (f,\infty )=\mathrm {Res} \left({-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right),0\right)}$

où l'on a :

${\displaystyle {-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right)={-1 \over z^{2}}\cdot {1 \over {\sqrt {1-1/z^{2}}}}={-1 \over z{\sqrt {z^{2}-1}}}.}$

Le résidu vaut donc :

${\displaystyle \mathrm {Res} (f,\infty )=\lim _{z\to 0}z\cdot {-1 \over z{\sqrt {z^{2}-1}}}=i.}$

Par conséquent on a :

${\displaystyle I^{*}=2\pi .}$

Il reste à passer à la limite ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ ; en décomposant l'intégrale en quatre chemins illustrés à la figure ci-contre, on a :

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\int _{\gamma }f(z)~\mathrm {d} z=\lim _{\epsilon \to 0}\left(\int _{\gamma _{+}\circ \gamma _{-}}f(z)~\mathrm {d} z+\int _{\gamma _{\epsilon }\circ \gamma '_{\epsilon }}f(z)~\mathrm {d} z\right).}$

Par estimation standard, on montre que le deuxième terme du membre de droite tend vers zéro à la limite. Par ailleurs, lorsque ${\displaystyle \epsilon \to 0}$, le long de ${\displaystyle \gamma _{+}}$, ${\displaystyle \theta _{1}}$ et ${\displaystyle \theta _{2}}$ tendent vers ${\displaystyle \pi }$ ; le long de ${\displaystyle \gamma _{-}}$, ${\displaystyle \theta _{1}}$ tend vers ${\displaystyle \pi }$ et ${\displaystyle \theta _{2}}$ vers ${\displaystyle -\pi }$, on a donc :

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\int _{\gamma _{+}}{\mathrm {d} z \over {\sqrt {|1-z|}}\mathrm {e} ^{i\theta _{1}/2}{\sqrt {|1+z|}}\mathrm {e} ^{i\theta _{2}/2}}=\int _{+1}^{-1}{-\mathrm {d} x \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$

avec ${\displaystyle \mathrm {e} ^{i(\pi +\pi )/2}=\mathrm {e} ^{i\pi }=-1}$ et

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\int _{\gamma _{-}}f(z)~\mathrm {d} z=\int _{-1}^{+1}{\mathrm {d} x \over {\sqrt {1-x^{2}}}}=I}$

avec ${\displaystyle \mathrm {e} ^{i(\pi -\pi )/2}=1}$.

On a finalement :

${\displaystyle I^{*}=\lim _{\epsilon \to 0}\left(\int _{\gamma _{+}}f(z)~\mathrm {d} z+\int _{\gamma _{-}}f(z)~\mathrm {d} z\right)=2I}$

et nous avons bien le résultat espéré, à savoir ${\displaystyle I=\pi }$.

Il était ici beaucoup plus aisé de passer par l'analyse réelle mais la méthode présentée ci-dessus peut être utilisée dans des cas pour lesquels une forme analytique simple n'existe pas. L'exemple ci-dessus a cependant l'avantage d'être représentatif et relativement simple.

• Murray R. Spiegel, Variables complexes, McGraw-Hill, 1973 (ISBN 978-2-7042-0020-7)
• Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes, Hermann, 1961

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