Fractale de Rauzy

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La fractale de Rauzy (ou, au masculin, « le fractal de Rauzy ») est une figure fractale associée à la substitution de Tribonacci : ${\displaystyle s(1)=12}$, ${\displaystyle s(2)=13}$, ${\displaystyle s(3)=1}$. Cette étude a été réalisée en 1981 par Gérard Rauzy^[1], dans l'objectif de généraliser les propriétés dynamiques de la substitution de Fibonacci. Cette fractale se généralise à d'autres substitutions à trois lettres, générant d'autres figures aux propriétés intéressantes (pavage périodique du plan, auto-similarité en 3 parties homothétiques...).

Le mot infini de tribonacci se construit d'après la substitution dite de Tribonacci : ${\displaystyle s(1)=12}$, ${\displaystyle s(2)=13}$, ${\displaystyle s(3)=1}$. À partir de 1, les mots de Tribonacci successifs sont donc :

• ${\displaystyle t_{0}=1}$
• ${\displaystyle t_{1}=12}$
• ${\displaystyle t_{2}=1213}$
• ${\displaystyle t_{3}=1213121}$
• ${\displaystyle t_{4}=1213121121312}$

On montre que, pour ${\displaystyle n>2}$, ${\displaystyle t_{n}=t_{n-1}t_{n-2}t_{n-3}}$, d'où le nom "Tribonacci".

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Considérons, maintenant, l'espace ${\displaystyle R^{3}}$ muni d'un référentiel orthonormé. La fractale de Rauzy se construit, alors, comme suit:

1) Interpréter la suite des lettres du mot infini de Tribonacci comme une suite de vecteurs unitaires de l'espace selon la règle: (1 = direction x, 2 = direction y, 3 = direction z).

2) Construire alors un "escalier" en traçant les points atteints par cette séquence de vecteurs. Par exemple, les premiers points sont :

• ${\displaystyle 1\Rightarrow (1,0,0)}$
• ${\displaystyle 2\Rightarrow (1,1,0)}$
• ${\displaystyle 1\Rightarrow (2,1,0)}$
• ${\displaystyle 3\Rightarrow (2,1,1)}$
• ${\displaystyle 1\Rightarrow (3,1,1)}$

etc. Chaque point peut être coloré selon la valeur de la lettre correspondante afin de mettre en lumière l'auto-similarité.

3) Projeter alors ces points sur l'espace contractant (plan orthogonal à la direction générale de propagation de ces points, aucun des points projetés ne s'échappe à l'infini). La fractale de Rauzy est la clôture de cet ensemble.

• Peut être recouverte par trois copies d'elle-même, réduites de facteurs : ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle k^{2}}$ et ${\displaystyle k^{3}}$ avec ${\displaystyle k}$ solution de ${\displaystyle k^{3}+k^{2}+k-1=0}$: ${\displaystyle \scriptstyle {k={\frac {1}{3}}(-1-{\frac {2}{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}}+{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}})=0.54368901269207636}}$.
• Stable par échange de morceaux. On obtient la même figure changeant les trois copies de place.
• Connexe et simplement connexe. N'a pas de trou.
• Pavage périodique par translation: Peut paver le plan par translation, de manière périodique.
• La matrice de la substitution de Tribonacci a pour polynôme caractéristique ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1}$, ses valeurs propres étant un réel ${\displaystyle \beta =1,8392}$, appelé constante de Tribonacci, un nombre de Pisot, et deux complexes conjugués ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$ avec ${\displaystyle \alpha {\bar {\alpha }}=1/\beta }$ .
• Sa frontière est fractale et la dimension de Hausdorff de cette frontière égale 1,0933 (solution de ${\displaystyle 2|\alpha |^{3s}+|\alpha |^{4s}=1}$ ^[2]).

Pour toute substitution de type Pisot et unimodulaire, qui vérifie, en plus, une condition particulière dite de coïncidences (toujours vérifiée, semble-t-il), on peut construire un ensemble du même genre appelé fractal de Rauzy de la substitution. Ils sont tous auto-similaires et engendrent, pour les exemples ci-dessous, un pavage périodique de l'espace.

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  s(1)=12, s(2)=31, s(3)=1
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  s(1)=12, s(2)=23, s(3)=312
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  s(1)=123, s(2)=1, s(3)=31
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  s(1)=123, s(2)=1, s(3)=1132

• Liste de fractales
• Suite de Tribonacci

• Fractal de Rauzy, introduction et propriétés, par Anne Siegel
• Propriétés topologiques des fractals de Rauzy
• Géométrie des substitutions, Pierre Arnoux et Anne Siegel, 2004

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