Fractale

Exemple de structure fractale (détail de l'ensemble de Mandelbrot).
Exemple de structure fractale (détail de l'ensemble de Mandelbrot).
Un exemple de figure fractale.

Une figure fractale est un objet mathématique, telle une courbe ou une surface, dont la structure est invariante par changement d'échelle[1].

L'adjectif « fractal », à partir duquel l'usage a imposé le substantif une fractale pour désigner une figure ou une équation de géométrie fractale, est un néologisme créé par Benoît Mandelbrot en 1974[2] à partir de la racine latine fractus, qui signifie « brisé », « irrégulier », et de la désinence -al présente dans les adjectifs naval et banal (pluriels : navals, banals, fractals). De nombreux phénomènes naturels – comme le tracé des lignes de côtes ou l'aspect du chou romanesco – possèdent des formes fractales approximatives.

Les fractales sont définies de manière paradoxale, à l'image des poupées russes qui renferment une figurine identique à l'échelle près : « les objets fractals peuvent être envisagés comme des structures gigognes en tout point – et pas seulement en un certain nombre de points, les attracteurs de la structure gigogne classique. Cette conception hologigogne (gigogne en tout point) des fractales implique cette définition tautologique : un objet fractal est un objet dont chaque élément est aussi un objet fractal (similaire) [3].

Employé en tant qu'adjectif, le terme peut désigner une appellation « générique » (notamment d'un point de vue sémiotique, par signes équivalents).

C'est cette généricité (cf. une « déterritorialisation ») qui est prise en compte dans la Théorie du Rhizome[4] (cf. « French Theory ») à portée socio-politique ; (afin de montrer la possibilité d'une organisation horizontale, où chaque élément est virtuellement efficient, plutôt qu'une disposition pyramidale par exemple, verticalement rigide et sans potentiel fractal)[Note 1].

Caractéristiques

Construction animée : courbe de von Koch.

Un objet fractal possède au moins l'une des caractéristiques suivantes :

  • sa dimension de Hausdorff est strictement supérieure à sa dimension topologique. Cette caractéristique est généralement prise comme définition même d'un objet fractal. Pour exprimer la chose autrement, un réseau d'irrigation est un déploiement de lignes (« en 1D ») qui offre des caractéristiques commençant à évoquer une surface (« en 2D »). La surface du poumon (« en 2D ») est repliée en une sorte de volume (« en 3D »). De façon imagée, les fractales se caractérisent par une sorte de dimension non entière. (Mandelbrot ne considère pas cette définition comme tout à fait satisfaisante[Note 2]) ;
  • il a des détails similaires à des échelles arbitrairement petites ou grandes ;
  • il est trop irrégulier pour être décrit efficacement en termes géométriques traditionnels ;
  • il est exactement ou statistiquement autosimilaire, c'est-à-dire que le tout est semblable à une de ses parties.

Domaines de validité

Figure fractale de Mandelbrot créée avec Python (Fractale au degré 20).

Les figures fractales n'ont pas à satisfaire toutes les propriétés mentionnées ci-dessus pour servir de modèles. Il leur suffit de réaliser des approximations convenables de ce qui intéresse dans un domaine de validité donné (le livre fondateur de Mandelbrot Les Objets fractals en donne une grande variété d'exemples). La taille des alvéoles du poumon, par exemple, taille à partir de laquelle celui-ci cesse de se subdiviser de façon fractale, est liée à la taille du libre parcours moyen de la molécule d'oxygène à température du corps.

La dimension utilisée est celle de Hausdorff, et on observe qu'elle correspond à une caractéristique nouvelle des surfaces irrégulières. On connait les plages de validité des dimensions de Hausdorff observées sur Terre pour les montagnes, les nuages, etc.

Des exemples de figures fractales sont fournis par les ensembles de Julia, Fatou et de Mandelbrot, la fractale de Lyapunov, l'ensemble de Cantor, le tapis de Sierpinski, le triangle de Sierpinski, la courbe de Peano ou le flocon de Koch. Les figures fractales peuvent être des fractales déterministes ou stochastiques. Elles apparaissent souvent dans l'étude des systèmes chaotiques.

Les figures fractales peuvent être réparties en trois grandes catégories :

  1. Les systèmes de fonctions itérées. Ceux-ci ont une règle de remplacement géométrique fixe (l'ensemble de Cantor, le tapis de Sierpinski, le triangle de Sierpinski, la courbe de Peano, le flocon de Koch) ;
  2. Les fractales définies par une relation de récurrence en chaque point dans un espace (tel que le plan complexe). Des exemples de ce type sont les ensembles de Mandelbrot et la fractale de Lyapunov ;
  3. Les fractales aléatoires, générées par des processus stochastiques et non déterministes, par exemple les paysages fractals.

De toutes ces figures fractales, seules celles construites par des systèmes de fonctions itérées affichent habituellement la propriété d'autosimilitude, signifiant que leur complexité est invariante par changement d'échelle.

Les fractales aléatoires sont les plus utilisées dans la pratique, et peuvent servir à décrire de nombreux objets extrêmement irréguliers du monde réel. Les exemples incluent des nuages, les montagnes, les turbulences de liquide, les lignes des côtes et les arbres. Les techniques fractales ont aussi été utilisées dans la compression fractale d'images, de même que dans beaucoup de disciplines scientifiques.

Dimension fractale

La dimension d'une ligne droite, d'un cercle et d'une courbe régulière est de 1. Une fois fixés une origine et un sens, chaque point de la courbe peut être déterminé par un nombre, qui définit la distance entre l'origine et le point. Le nombre est pris négativement s'il faut se déplacer dans le sens opposé à celui choisi au départ.

La dimension d'une figure simple dans le plan est de 2. Une fois un repère défini, chaque point de la figure peut être déterminé par deux nombres. La dimension d'un corps simple dans l'espace est de 3.

Une figure telle qu'une fractale n'est pas simple. Sa dimension n'est plus aussi facile à définir et n'est plus forcément entière. La dimension fractale, plus complexe, s'exprime à l'aide de la dimension de Hausdorff.

Article détaillé : Dimension fractale.

Quand la fractale est formée de répliques d'elle-même en plus petit, sa dimension fractale peut se calculer comme suit :

où la fractale de départ est formée de exemplaires dont la taille a été réduite d'un facteur (pour homothétie).

Quelques exemples :

  • un côté du flocon de Koch est formé de exemplaires de lui-même réduit d'un facteur . Sa dimension fractale vaut :

  • le triangle de Sierpinski est formé de exemplaires de lui-même réduit d'un facteur . Sa dimension fractale vaut :

  • le tapis de Sierpinski est formé de exemplaires de lui-même réduit d'un facteur . Sa dimension fractale vaut :

Une liste beaucoup plus longue se trouve sous : Liste de fractales par dimension de Hausdorff.

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Objets fractals dans la nature

Le chou romanesco, un exemple de forme fractale naturelle.
Une fougère fractale, modélisée en utilisant un système de fonctions itérées.

Des formes fractales approximatives sont facilement observables dans la nature. Ces objets ont une structure autosimilaire sur une échelle étendue, mais finie : les nuages, les flocons de neige, les montagnes, les réseaux de rivières, le chou-fleur ou le brocoli, et les vaisseaux sanguins.

Les arbres et les fougères sont de nature fractale et peuvent être modélisés par ordinateur à l'aide d'algorithmes récursifs comme les L-Systems. La nature récursive est évidente dans ces exemples ; la branche d'un arbre ou la fronde d'une fougère sont des répliques miniatures de l'ensemble : pas identiques, mais de forme similaire.

La surface d'une montagne peut être modélisée sur ordinateur en utilisant une fractale : prenons un triangle dans un espace tridimensionnel dont nous connectons les milieux de chaque côté par des segments, il en résulte quatre triangles. Les points centraux sont ensuite déplacés aléatoirement vers le haut ou le bas, dans un rayon défini. La procédure est répétée, diminuant le rayon de moitié à chaque itération. La nature récursive de l'algorithme garantit que le tout est statistiquement similaire à chaque détail.

Enfin, certains astrophysiciens ont remarqué des similitudes dans la répartition de la matière dans l'Univers à six échelles différentes. Les effondrements successifs de nuages interstellaires, dus à la gravité, seraient à l'origine de cette structure (partiellement) fractale. Ce point de vue a donné naissance au modèle de l'univers fractal, décrivant un univers fondé sur les fractales.

Domaines d'application

Les domaines d'application des fractales sont très nombreux, on peut citer en particulier[5] :

Tous ces domaines - et bien d'autres - peuvent bénéficier de la description et d'une modélisation en termes fractals des phénomènes associés.

Le modèle commence[Quand ?] tout particulièrement à se développer en finance, où l'approche fractale de Mandelbrot se prête aux marchés volatils. Des sociétés utilisent un modèle identifiant les répétitions mathématiques afin de prévoir certains mouvements de prix à court-terme. Cette approche systématique est basée sur la volatilité et l'accélération des échanges de titres afin de valider les tendances. Une anticipation des variations est ainsi immédiatement inscrite sur le modèle : si la variation est d'ampleur suffisante, elle permet de prendre par exemple une position short[Quoi ?] sur le marché.

Utilisations industrielles

Surface spécifique de Blaine : la finesse de broyage d'un ciment est exprimée en termes de surface spécifique (cm²/g) et mesurée par la méthode de Blaine, dite de perméabilité à l'air, utilisant la loi de Darcy, et la loi de Kozeny-Carman qui établit que la traversée d'un lit de granules par un fluide est affectée par la surface spécifique des granules.

Ainsi, en calculant la durée que met un gaz sous pression à traverser un volume donné de granules, on en déduit la surface des granules. Plus le broyage est fin, plus la surface calculée est importante.

Cette expérience se produisant dans un volume déterminé, on peut imaginer obtenir une surface développée infinie en broyant toujours plus finement le ciment. Il s'agit là d'une utilisation industrielle d'un modèle expliqué par les mathématiques fractales (un objet de dimension de mesure finie, borné par une frontière de dimension , de mesure tendant vers l'infini).

Informatique

  • Fractint est un logiciel gratuit destiné à tracer de nombreux types de fractales.
  • Sterling est un générateur de fractales gratuit pour Windows.
  • XaoS est un logiciel libre permettant une découverte à la fois technique et poétique des fractales.
  • FractaNep est un logiciel gratuit traçant les ensembles de Mandelbrot, Julia et Newton (compatible Windows).
  • Qosmic est un logiciel s'intéressant à l'édition de flammes fractales, les rendus sont générés de manière algorithmique.

Galerie d'images

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Notes et références

Notes

  1. Le « principe de connexion et d'hétérogénéité » implique que le rhizome se forme par liaisons d'éléments hétérogènes sans qu'un ordre préalable assigne des places à chaque élément : « [...] n'importe quel point d'un rhizome peut être connecté à un autre, et doit l'être » - Deleuze / Guattari, Mille Plateaux, Paris, Éditions de Minuit, 1980, p. 13.
  2. Benoît Mandelbrot, Fractales, hasard et finance, Flammarion, coll. « Champs sciences » (réimpr. 2009) (1re éd. 1997), 246 p. (ISBN 978-2-0812-2510-7), chap. 1.3 (« Principes d'échelle, distributions scalantes, dimensions fractales, et H »), p. 56 :

    « Il est vrai que [mes textes de 77 et de 82] avaient eu l'imprudence de proposer, pour le concept de fractale, une « définition pour voir », ou « définition tactique ». Ses défauts majeurs, vite apparus, me l'ont fait retirer dès le deuxième tirage [du texte de 82]. Mais elle persiste à être citée et à inquiéter. Je disais donc que l'ensemble E est fractal si […] . »

  3. Mandelbrot, lorsqu'il a publié Une approche fractale des marchés (Odile Jacob, 2004), était très méfiant vis-à-vis de la recherche fondamentale appliquée aux diverses prophéties économiques en rapport avec le Marché... Il avait vainement prévenu de leur fausseté.(cf. interview dans le Monde)
  4. cf. Travaux de Gilles Deleuze (avec Félix Guattari) poursuivant l'approche conceptuelle (essentiellement mathématiques) ouverte par Mandelbrot, et dont la thèse de philosophie était « centrée sur le concept de "différence" et "répétition", c'est-à-dire au rapport du même à la ressemblance, de la copie au double, et de l'effet de la répétition à l'infini par rapport à un original. »
  5. Leibniz (précurseur, énonçant le monadisme) : « Toute substance se développe ainsi suivant des lois intérieures, en suivant sa propre tendance : chacune a donc sa loi propre. Ainsi, si nous connaissons la nature de l’individu, pouvons-nous en dériver tous les états changeants. Cette loi de l’individualité implique des passages à des états non seulement nouveaux, mais aussi plus parfaits. »

Références

  1. « fractale » sur le Wikitionaire.
  2. « 50 ans après Einstein un savant élucide les mystères de l'univers », Science et Vie no 936, septembre 1995, page 51.
  3. Le Trésor des paradoxes, Philippe Boulanger et Alain Cohen, Éd. Belin, 2007.
  4. Rhizome (Félix Guattari avec Gilles Deleuze), 1976 (repris dans Mille Plateaux), Minuit, coll. « Critiques », Paris.
  5. Le monde des fractales, Jacques Dubois & Jean Chaline

Annexes

Bibliographie

  • (en) Kenneth Falconer , Fractal Geometry, 1990, John Wiley & Sons (ISBN 0-471-92287-0).
  • (en) Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, 1982, W. H. Freeman  (ISBN 0-7167-1186-9). Trad. : Les objets fractals. Forme, chance et dimension, Flammarion, 2e éd. 1984.
  • (en) Heinz-Otto Peitgen , The Science of Fractal Images, 1988, Springer (ISBN 0-387-96608-0).
  • (en) Heinz-Otto Peitgen, Fractals for the classroom, New York, Springer, 1993.
  • (en) Michael Barnsley, Fractals Everywhere, Morgan Kaufmann  (ISBN 0-12-079061-0)
  • Bernard Sapoval, Universalités et fractales, Flammarion, coll. Champs.
  • Jacques Dubois et Jean Chalin, Le monde des fractales, 2006, Éditions Ellipses (ISBN 978-2-7298-2782-3).
  • André Dauphiné, Géographie fractale, Hermès-Lavoisier, 2011 (ISBN 978-2-7462-3798-8)
  • Pierre Frankhauser, La fractalité des structures urbaines, Economica, 1994
  • D. Queiros-Conde, J. Chaline et J. Dubois, La Nature Trans-échelles, 2015, Ellipses.

Articles connexes

Liens externes