Pentacontagone

Un pentacontagone est un polygone à 50 sommets, donc 50 côtés et 1 175 diagonales.

La somme des angles internes d'un pentacontagone non croisé vaut 8 640 degrés.

Un pentacontagone régulier est un pentacontagone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a dix : neuf étoilés (notés {50/k} pour k impair de 3 à 23 sauf 5 et 15) et un convexe (noté {50}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on dit « le pentacontagone régulier ».

• Les dix pentacontagones réguliers avec, pour chacun, le symbole de Schläfli et l'angle interne.
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  {50}, 172,8°
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  {50/3}, 158,4°
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  {50/7}, 129,6°
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  {50/9}, 115,2°
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  {50/11}, 100,8°
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  {50/13}, 86,4°
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  {50/17}, 57,6°
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  {50/19}, 28,8°
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  {50/21}, 14,4°
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  {50/23}, 43,2°

Chacun des 50 angles au centre mesure ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{50}}=7{,}2^{\circ }}$ et chaque angle interne mesure ${\displaystyle {\frac {8\,640^{\circ }}{50}}=172{,}8^{\circ }}$.

Si a est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut ${\displaystyle P=50\,a}$ ;
• l'aire vaut ${\displaystyle A={\frac {50}{4}}\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{50}}\right)}$ ;
• l'apothème vaut ${\displaystyle H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{50}}\right)}$ ;
• le rayon vaut ${\displaystyle R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{50}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{50}}\right)}}}$.

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