Heptadécagone

Par définition, le problème de la construction de l'heptadécagone régulier revient à chercher les racines complexes du polynôme

${\displaystyle {\frac {x^{17}-1}{x-1}}=x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1.}$

On note α = 2π/17, puis on pose ω₁₇ = exp(iα), et ω_k = ωk
17, pour k entre 1 et 16, qui sont donc les racines recherchées. On va construire des sommes de ces racines à partir de périodes qui forment les racines de polynômes du second degré. On considère le tableau suivant, qui donne la valeur de, pour m entre 0 et 15, de 3^m modulo 17 :

${\displaystyle m}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
${\displaystyle \vartheta (m)\equiv 3^{m}\mod 17}$	1	3	9	10	13	5	15	11	16	14	8	7	4	12	2	6

On utilise la congruence modulo 3 car ce nombre est une racine primitive de 17.

On pose donc les sommes :

${\displaystyle X_{1}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m{\textrm {pair}}}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{1}+\omega _{9}+\omega _{13}+\omega _{15}+\omega _{16}+\omega _{8}+\omega _{4}+\omega _{2}}$

${\displaystyle X_{2}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m{\textrm {impair}}}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{3}+\omega _{10}+\omega _{5}+\omega _{11}+\omega _{14}+\omega _{7}+\omega _{12}+\omega _{6}}$

${\displaystyle Y_{1}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m\equiv 0\mod 4}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{1}+\omega _{13}+\omega _{16}+\omega _{4}}$

${\displaystyle Y_{2}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m\equiv 2\mod 4}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{9}+\omega _{15}+\omega _{8}+\omega _{2}}$

${\displaystyle Y_{3}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m\equiv 1\mod 4}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{3}+\omega _{5}+\omega _{14}+\omega _{12}}$

${\displaystyle Y_{4}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m\equiv 3\mod 4}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{10}+\omega _{11}+\omega _{7}+\omega _{6}}$

Par les propriétés de symétrie, on peut observer que :

${\displaystyle X_{1}=2(\cos \alpha +\cos 8\alpha +\cos 4\alpha +\cos 2\alpha ),\ X_{2}=2(\cos 3\alpha +\cos 7\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha )}$

${\displaystyle Y_{1}=2(\cos \alpha +\cos 4\alpha ),\ Y_{2}=2(\cos 8\alpha +\cos 2\alpha )}$

${\displaystyle Y_{3}=2(\cos 3\alpha +\cos 5\alpha ),\ Y_{4}=2(\cos 7\alpha +\cos 6\alpha )}$

On peut remarquer, par les identités trigonométriques usuelles, que :

${\displaystyle X_{1}+X_{2}=\sum _{k=1}^{16}\omega _{k}=\sum _{k=1}^{8}2\cos k\alpha =-1}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccl}X_{1}X_{2}&=&4(\cos \alpha +\cos 8\alpha +\cos 4\alpha +\cos 2\alpha )(\cos 3\alpha +\cos 7\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha )\\&=&4(\cos \alpha \cos 3\alpha +\cos \alpha \cos 7\alpha +\cos \alpha \cos 5\alpha +\cos \alpha \cos 6\alpha \\&&+\cos 8\alpha \cos 3\alpha +\cos 8\alpha \cos 7\alpha +\cos 8\alpha \cos 5\alpha +\cos 8\alpha \cos 6\alpha \\&&+\cos 4\alpha \cos 3\alpha +\cos 4\alpha \cos 7\alpha +\cos 4\alpha \cos 5\alpha +\cos 4\alpha \cos 6\alpha \\&&+\cos 2\alpha \cos 3\alpha +\cos 2\alpha \cos 7\alpha +\cos 2\alpha \cos 5\alpha +\cos 2\alpha \cos 6\alpha )\\&=&2[(\cos 4\alpha +\cos 2\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos 6\alpha )+(\cos 6\alpha +\cos 4\alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 5\alpha )\\&&+(\cos 11\alpha +\cos 5\alpha )+(\cos 15\alpha +\cos \alpha )+(\cos 13\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 14\alpha +\cos 2\alpha )\\&&+(\cos 7\alpha +\cos \alpha )+(\cos 11\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 9\alpha +\cos \alpha )+(\cos 10\alpha +\cos 2\alpha )\\&&+(\cos 5\alpha +\cos \alpha )+(\cos 9\alpha +\cos 5\alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos 4\alpha )]\\&=&2[(\cos 4\alpha +\cos 2\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos 6\alpha )+(\cos 6\alpha +\cos 4\alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 5\alpha )\\&&+(\cos 6\alpha +\cos 5\alpha )+(\cos 2\alpha +\cos \alpha )+(\cos 4\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 3\alpha +\cos 2\alpha )\\&&+(\cos 7\alpha +\cos \alpha )+(\cos 6\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos \alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 2\alpha )\\&&+(\cos 5\alpha +\cos \alpha )+(\cos 6\alpha +\cos 5\alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos 4\alpha )]\\&=&8\sum _{k=1}^{8}\cos k\alpha \\&=&-4.\end{array}}}$

Ainsi, X₁ et X₂ sont les deux racines de X² + X – 4 = 0, et une étude rapide de signe montre que X₁ est la racine positive, et X₁ > X₂.

De même, on peut montrer que Y₁ et Y₂ sont les deux racines de Y² + X₁Y – 1 = 0, avec Y₁ > Y₂, et que Y₃ et Y₄ sont les deux racines de Y² + X₂Y – 1 = 0, avec Y₃ > Y₄.

Enfin, on peut vérifier que z₁ = 2 cos α = ω1
17 + ω16
17 et z₂ = 2 cos 4α = ω4
17 + ω13
17 sont les deux racines de Z² – Y₁Z + Y₃ = 0, avec z₁ > z₂.

Il suffit dès lors de résoudre les équations du second degré et de ne retenir que les racines adéquates pour obtenir le résultat voulu.