Radian

Radian
Définition de l'angle en radians.
Définition de l'angle en radians.
Informations
Système Unités dérivées du Système international
Unité de… Angle plan
Symbole rad
Conversions
1 rad en... est égal à...
  tour complet   2π rad

Le radian (symbole : rad) est l'unité dérivée du Système international de mesure des angles plans.

Par définition, un angle, ayant son sommet au centre d'un cercle, a une mesure de un radian si il intercepte, sur la circonférence de ce cercle, un arc d'une longueur égale à celle du rayon de ce cercle.

Bien que le mot « radian » ait été inventé au cours des années 1870 par Thomas Muir et James Thomson[1],[2], les mathématiciens mesuraient depuis longtemps les angles en prenant pour unité le rapport entre la circonférence et la longueur du rayon.

Définition

Considérons un secteur angulaire, formé de deux droites concourantes distinctes, et un cercle de rayon r tracé dans un plan contenant ces deux droites, dont le centre est le point d'intersection des droites. Alors, la valeur de l'angle en radians est le rapport entre la longueur L de l'arc de cercle intercepté par les droites et le rayon r.

Mesure d'un angle en radian

Un angle d'un radian intercepte sur la circonférence de ce cercle un arc d'une longueur égale au rayon. Un cercle complet représente un angle de 2π radians, appelé angle plein.

L'utilisation des radians est impérative lorsque l'on dérive ou intègre une fonction trigonométrique ou encore lorsque l'on utilise un développement limité de cette fonction trigonométrique : en effet, l'angle pouvant se retrouver en facteur, seule la valeur en radians a un sens. De ce fait, le calcul des fonctions trigonométriques par une série de Taylor suppose l'expression des angles en radians, tout comme l'application de la formule d'Euler, qui l'a posée en spécifiant que les angles devaient être mesurés par la longueur en rayons de l'arc qu'ils interceptent, plus d'un siècle avant l'invention du terme radian.

Petits angles

Pour les petits angles exprimés en radians, sin x ≈ tan xx.

  • Pour un angle de valeur inférieure à 0,17 radian (soit ~10°), l'erreur est de moins de 1 % ;
  • Pour un angle de valeur inférieure à 0,05 radian (soit ~3°), l'erreur est de moins de 0,1 %[3].

Dans le domaine de la topographie, où on traite d'angles faibles, on utilise le mil angulaire, une unité pratique, définie comme l'angle qu'intercepte une longueur de 1 mm à une distance de 1 m. Elle sert, par exemple, à déterminer la distance d'une mire de hauteur connue par la mesure de sa taille apparente. Dans les conditions où elle sert, cette unité s'identifie avec un milliradian.

Relations entre grades, degrés et radians

Diagramme pour la conversion entre degrés et radians.

Un tour complet équivaut à 2π radians, 360 degrés, 400 grades.

Par conséquent,

  • Un radian vaut environ 57,3° ou 57° 18' (360°÷2π) ;
  • un degré vaut approximativement 17,5 milliradians.

Les formules de conversion entre les degrés et les radians sont :

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Les formules de conversion entre les grades et les radians sont :

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Quelques angles particuliers en radians, grades, degrés et tours :
nom de l'angle valeur en radians (rad) valeur en degrés (°) valeur en tours (tr) valeur en grades (gon)
angle nul 0 rad 0 tr 0 gon
milliradian 0,001 0,0573° ou 0° 3′ 26″ 16‴ 0,00015915494 tr 0,063 661 977 gon
π/6 rad 30° 0,08333 tr (1/12 tr) 33,333 333 gon
π/4 rad 45° 0,125 tr (1/8 tr) 50 gon
radian 1 rad 57° 17′ 44″ 48‴ 0,1591549430919 tr (1/π/2 tr) 50 gon
π/3 rad 60° 0,1666 tr (1/6 tr) 66,666 666 gon
angle droit π/2 rad 90° 0,25 tr 100 gon
2π/3 rad 120° 0,333 tr 133,333 333 gon
3π/4 rad 135° 0,375 tr 150 gon
angle plat π rad 180° 0,5 tr 200 gon
5π/4 rad 225° 0,625 tr 250 gon
3π/2 rad 270° 0,75 tr 300 gon
7π/4 rad 315° 0,875 tr 350 gon
angle plein 2π rad 360° 1 tr 400 gon

Voir aussi

Bibliographie

  • Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck, , « Radian », p. 569

Articles connexes

Notes et références

  1. (en) A.R. Crathorne, « The Word "Radian" », The American Mathematical Monthly, vol. 19, nos 10-11,‎ , p. 166 (DOI 10.2307/2971878, JSTOR 2971878).
  2. (en) Robert J. Whitaker, « Whence the ‘‘Radian’’? », The Physics Teacher , vol. 32, no 7,‎ , p. 444–445 (DOI 10.1119/1.2344073).
  3. Taillet, Villain et Febvre 2013, p. 39.