Fonction sous-identitaire

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Médéric Niot

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Une fonction ou application sous-identitaire (où vérifiant la sous-identité), est une fonction ${\displaystyle f:E\to F}$ vérifiant ${\displaystyle \forall x\in E,f(x)\leq x}$.

Le plus souvent, ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$, et ${\displaystyle \leq }$ désigne la relation d'ordre usuelle sur les nombres réels.

Une fonction sous-identitaire est une fonction dont les images sont plus petites que celles de la fonction identité, au sens de la relation d'ordre donnée sur les ensembles donnés. On dit alors que la fonction est majorée par la fonction identité.

Ainsi, l'application ${\displaystyle f}$ est sous-identitaire si et seulement si ${\displaystyle f\leq id}$, où ${\displaystyle \leq }$ désigne l'ordre produit.

Pour les fonctions à valeurs réelles, ${\displaystyle f}$ est sous-identitaire si et seulement si ${\displaystyle f-id_{\mathbb {R} }\leq 0_{\mathbb {R} }}$, où ${\displaystyle 0_{\mathbb {R} }}$ désigne la fonction nulle.

Voici des exemples précis de fonctions sous-identitaires :

• ${\displaystyle f:\,\,]-1,+\infty [\to \mathbb {R} ,x\mapsto \ln(x+1)}$ est sous-identitaire.

En effet, ${\displaystyle \forall x\in \,\,]-1,+\infty [\,\,,\ln(x+1)\leq x}$. Cette propriété sur le logarithme est très utile en analyse.

• ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {Z} ,x\mapsto \lfloor x\rfloor }$ est sous-identitaire.

En effet, par définition de la partie entière, ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ est l'unique entier qui vérifie ${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x+1\rfloor }$^[1].

• Soit un ensemble ${\displaystyle E}$, et soit ${\displaystyle G\subset E}$. Alors ${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(E)\to {\mathcal {P}}(E),F\mapsto F\,\cap \,G}$ est sous-identitaire pour la relation d'ordre ${\displaystyle \subset }$.

En effet, par décroissance de l'intersection, ${\displaystyle F\,\cap \,G\subset F}$.

• ${\displaystyle f:\mathbb {R} [X]\setminus \{0\}\to \mathbb {R} [X],P\mapsto P-dom(P)X^{\deg(P)}}$ est sous-identitaire pour l'ordre lexicographique ${\displaystyle \preccurlyeq }$ sur les familles des coefficients polynomiaux (en partant du coefficient de plus fort degré).

En effet, si ${\displaystyle \deg(P)=\deg(Q)}$ et ${\displaystyle dom(P)=-dom(Q)}$, alors ${\displaystyle \deg(P+Q)<\deg(P)}$, donc ${\displaystyle P+Q\prec P}$.

Voici des conditions suffisantes pour qu'une fonction soit sous-identitaire :

• Si ${\displaystyle f}$ est une fonction concave dont la tangente en un point est la droite d'équation ${\displaystyle y=x}$, alors ${\displaystyle f}$ est sous-identitaire.

Si ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{2}(\mathbb {R} ),\left(\,\exists \,x_{0}\in \mathbb {R} \,|\,{\begin{cases}f(x_{0})=x\\f'(x_{0})=1\end{cases}}\right)\wedge \forall x\in \mathbb {R} ,f''(x)\leq 0}$, alors ${\displaystyle f}$ est sous-identitaire.

• Si ${\displaystyle f}$ est une fonction affine de pente unitaire dont l'ordonnée à l'origine est négative, alors ${\displaystyle f}$ est sous-identitaire. Il s'agit d'une translation de la fonction identité de ${\displaystyle \alpha }$ unités vers le bas.

Si ${\displaystyle f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },\exists \,\alpha \in \mathbb {R} _{+}\,|\,\forall x\in \mathbb {R} ,f(x)=x-\alpha }$, alors ${\displaystyle f}$ est sous-identitaire.

• Si ${\displaystyle f}$ est convexe sur un intervalle ${\displaystyle [a,b]}$, que ${\displaystyle f(a)\leq a}$ et que ${\displaystyle f(b)\leq b}$, alors ${\displaystyle f}$ est sous-identitaire.

Si ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}_{2}([a,b]),f(a)\leq a,f(b)\leq b}$ et ${\displaystyle \forall x\in [a,b],f''(x)\geq 0}$, alors ${\displaystyle f}$ est sous-identitaire.

Si ${\displaystyle f}$ est sous-identitaire, alors elle doit nécessairement vérifier les propriétés suivantes :

• Si ${\displaystyle f}$ est continûment dérivable, alors il existe un intervalle non trivial sur lequel la fonction est concave.

${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{2}(\mathbb {R} )\Rightarrow \exists (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,(a<b\Rightarrow \forall x\in [a,b],f''(x)\leq 0)}$

• Si ${\displaystyle f}$ est continue et si la courbe de ${\displaystyle f}$ intersecte celle de l'identité en ${\displaystyle x=x_{0}}$, alors ${\displaystyle f}$ est surjective de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} \,\cup \,\,]-\infty ,x_{0}]}$.

${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {R} )\wedge \exists x_{0}\in \mathbb {R} \,|\,f(x_{0})=x_{0}\Rightarrow f}$ est surjective de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} \,\cup \,\,]-\infty ,x_{0}]}$

En particulier, si ${\displaystyle f(0)=0}$, alors ${\displaystyle f}$ est surjective de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}}$.

• Si ${\displaystyle f}$ est continue, alors ${\displaystyle f}$ est strictement croissante sur au moins un segment non trivial de ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {R} )\Rightarrow \exists (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,a<b\wedge \forall (x_{1},x_{2})\in [a,b]^{2},x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})}$

• La composition de la fonction avec elle-même est décroissante.

${\displaystyle \forall (n,m)\in \mathbb {N} ^{2},n\geq m\Rightarrow f^{n}\leq f^{m}}$

• Toute fonction définie sur un voisinage de ${\displaystyle -\infty }$ domine la fonction identité.

${\displaystyle f\in \mathbb {R} ^{]-\infty ,x_{0}]}\Rightarrow \operatorname {id} ={\underset {-\infty }{O}}(f)}$

• Si ${\displaystyle \leq }$ est un ordre bien fondé, et ${\displaystyle m}$ un élément minimal, alors ${\displaystyle f(m)=m}$ .

• Si ${\displaystyle f}$ est une fonction de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, alors elle est sous-identitaire si et seulement si :

${\displaystyle \exists \,g\in \mathbb {R} _{+}^{\mathbb {R} }\,|\,\forall x\in \mathbb {R} ,f(x)+g(x)=x}$

• Si ${\displaystyle f}$ est une fonction continue par morceaux de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, alors elle est sous-identitaire si et seulement si :

${\displaystyle \forall (a,b)\in \mathbb {R} ^{2},\int _{a}^{b}f(t)dt\leq {\frac {b^{2}-a^{2}}{2}}}$

Une fonction ou application sur-identitaire (où vérifiant la sur-identité), est une fonction ${\displaystyle f:E\to F}$ vérifiant ${\displaystyle \forall x\in E,f(x)\geq x}$.

• Si ${\displaystyle f}$ est bijective, alors ${\displaystyle f}$ est sur-identitaire si et seulement si son application réciproque ${\displaystyle f^{-1}}$ est sous-identitaire.
• Une fonction polynomiale de degré impair ${\displaystyle n\geq 3}$ ou de degré ${\displaystyle n\leq 0}$ n'est ni sous-identitaire, ni sur-identitaire. Si une fonction polynomiale est sous-identitaire (respectivement sur-identitaire), alors elle est nécessairement unitaire et de degré 1, ou de degré pair et de coefficient dominant négatif (respectivement positif).
• Si ${\displaystyle f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$, et si la restriction à ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ de ${\displaystyle f}$ est sur-identitaire, alors ${\displaystyle |f|}$ définie par ${\displaystyle |f|:x\mapsto |f(x)|}$ est sur-identitaire.

• ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \,\,]-1,+\infty [\,\,,x\mapsto e^{x}-1}$ est sur-identitaire.
• ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {Z} ,x\mapsto \lceil x\rceil }$ est sur-identitaire.
• Soit un ensemble ${\displaystyle E}$, et soit ${\displaystyle G\subset E}$. Alors ${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(E)\to {\mathcal {P}}(E),F\mapsto F\,\cup \,G}$ est sur-identitaire pour la relation d'ordre ${\displaystyle \subset }$.

Une fonction ou application strictement sous-identitaire (respectivement strictement sur-identitaire), est une fonction ${\displaystyle f:E\to F}$ vérifiant ${\displaystyle \forall x\in E,f(x)<x}$ (respectivement ${\displaystyle \forall x\in E,f(x)>x}$).

• Une fonction continue n'admettant pas de point fixe est soit strictement sous-identitaire, soit strictement sur-identitaire (par le théorème des valeurs intermédiaires).
• Si ${\displaystyle f}$ est sous-identitaire (respectivement sur-identitaire), alors ${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$, ${\displaystyle f-\varepsilon }$ est strictement sous-identitaire (respectivement ${\displaystyle f+\varepsilon }$ est strictement sur-identitaire).
• Si ${\displaystyle f}$ est strictement sous-identitaire (strictement respectivement sur-identitaire), alors elle est sous-identitaire (respectivement sur-identitaire).

${\displaystyle f}$ est strictement sous-identitaire (respectivement strictement sur-identitaire) si et seulement si ${\displaystyle f}$ est sous-identitaire (respectivement sur-identitaire) et n'admet pas de point fixe.

• Les restrictions à ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}^{*}}$ et ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ de la fonction ${\displaystyle x\mapsto x+{\frac {1}{x}}}$ sont respectivement strictement sous-identitaire et strictement sur-identitaire.
  • ${\displaystyle x\mapsto \left\vert x+{\frac {1}{x}}\right\vert }$ est strictement sur-identitaire.
• ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \,\,]1,+\infty [\,\,,x\mapsto {\frac {e^{x}}{1+x^{2}}}+1}$ est strictement sur-identitaire.
• ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {Z} ,x\mapsto \lceil x-1\rceil }$ est strictement sous-identitaire (par définition de la partie entière supérieure).

Une fonction ou application absolument sous-identitaire (respectivement absolument sur-identitaire) d'une partie ${\displaystyle A}$ espace vectoriel normé ${\displaystyle E}$ vers une partie ${\displaystyle B}$ d'un espace vectoriel normé ${\displaystyle F}$ est une fonction ${\displaystyle f}$ vérifiant ${\displaystyle \forall x\in A,\lVert f(x)\rVert \leq \lVert x\rVert }$ (respectivement ${\displaystyle \forall x\in A,\lVert f(x)\rVert \geq \lVert x\rVert }$).

Une fonction ${\displaystyle f}$ continue de ${\displaystyle A}$ dans ${\displaystyle B}$ est absolument sous-identitaire lorsque sa norme subordonnée est plus petite que 1, c'est-à-dire lorsque ${\displaystyle |||f|||={\underset {x\neq 0}{\sup }}{\biggl (}{\frac {||f(x)||}{||x||}}{\biggr )}\leq 1}$.

• Les applications à la fois absolument sous-identitaires et absolument sur-identitaires sont les isométries.
• Une application absolument sous-identitaire vaut nécessairement 0 en 0, par séparation et positivité de la norme.
• Les similitudes directes sont des cas particuliers d'applications absolument sous-identitaires (si le rapport de similitude est plus petit que 1) ou absolument sur-identitaires (si le rapport de similitude est plus grand que 1).
• Les applications de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sur-identitaires sont absolument sur-identitaires pour la valeur absolue.

• Dans l'espace vectoriel ${\displaystyle \mathbb {C} }$ muni du module ${\displaystyle |\,.|}$, soient ${\displaystyle A_{1}=\{z\in \mathbb {C} ,|z|\leq 1\}}$, et ${\displaystyle A_{2}=\{z\in \mathbb {C} ,|z|\geq 1\}}$, alors :
  • ${\displaystyle f_{1}:A_{1}\to A_{1},x\mapsto x^{2}}$ est absolument sous-identitaire.
  • ${\displaystyle f_{2}:A_{2}\to A_{2},x\mapsto x^{2}}$ est absolument sur-identitaire.

• Dans l'espace vectoriel ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$ muni de la norme canonique ${\displaystyle M\mapsto {\sqrt {tr(M^{\intercal }M)}}}$, soit ${\displaystyle N\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$, alors ${\displaystyle M\mapsto M+N}$ est absolument sous-identitaire (par inégalité triangulaire^[2]).

Soit ${\displaystyle p}$ une projection sur un espace préhilbertien ${\displaystyle E}$. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :

• ${\displaystyle p}$ est un projecteur orthogonal
• ${\displaystyle p}$ est absolument sous-identitaire
• ${\displaystyle p}$ est ${\displaystyle 1}$-lipschitzien
• ${\displaystyle |||p|||\in \{0,1\}}$

Une fonction est dite ${\displaystyle \alpha }$-identitaire lorsque ${\displaystyle \|f-id\|\leq \alpha }$.

• Si ${\displaystyle f}$ est une fonction ${\displaystyle \alpha }$-identitaire ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, alors ${\displaystyle f{\underset {\pm \infty }{\thicksim }}id}$.

• Réciproquement, si ${\displaystyle f{\underset {\pm \infty }{\thicksim }}id}$ et ${\displaystyle f}$ est continue, alors il existe ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R_{+}} }$ tel que ${\displaystyle f}$ soit ${\displaystyle \alpha }$-identitaire.
• ${\displaystyle f}$ est bornée si et seulement s'il existe ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R_{+}} }$ tel que ${\displaystyle f+id}$ soit ${\displaystyle \alpha }$-identitaire.

• ${\displaystyle id}$ est ${\displaystyle 0}$-identitaire. Il s'agit de l'unique fonction ${\displaystyle 0}$-identitaire, par antisymétrie des relations d'ordre.
• ${\displaystyle x\mapsto sin(x)+x}$ est ${\displaystyle 1}$-identitaire pour la valeur absolue.

${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle k}$-lipschitzienne si ${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},~|f(x)-f(y)|\leq k~|x-y|.}$

Voici une liste non exhaustive de cas d'utilisation de la sous-identité et de ses variantes :

• Détermination de la limite d'une suite de compositions de fonctions.
• Recherche de points fixes.
• Étude de la surjectivité.
• Étude de la convexité.
• Étude des transformations vectorielles.

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