Le sinus lemniscatique (en latin sinus lemniscatus) et le cosinus lemniscatique (en latin cosinus lemniscatus) (notés sinlemn ou sl et coslemn ou cl) sont des analogues des fonctions sinus et cosinus usuelles, en remplaçant le cercle par une lemniscate (de Bernoulli). Elles sont définies (puis prolongées par symétrie et périodicité) par
et
(les fonctions trigonométriques usuelles peuvent être définies de même, en remplaçant t4 par t2).
Leurs prolongements analytiques au plan complexe sont des fonctions elliptiques doublement périodiques, de périodes et , où G est la constante de Gauss donnée par et i l'unité imaginaire ; la demi-période π G (analogue du nombre π en trigonométrie) est souvent notée . Les graphes des deux fonctions ont des symétries et des relations entre eux analogues à celles des graphes des fonctions trigonométriques (en remplaçant π par ) ; en particulier (symétrie par rapport à l'axe d'équation ).
Longueur d'un arc de lemniscate
La lemniscate de Bernoulli, d'équation cartésienne , est formée des points dont le produit des distances aux deux points (1/√2, 0), (−1/√2, 0) (les foyers) est constant et vaut 1/2. La longueur r de l'arc le plus court allant de l'origine à un point situé à la distance s de cette origine est donnée par et par conséquent les fonctions lemniscatiques donnent la distance à l'origine en fonction de la longueur des arcs.
Propriétés algébriques
On a entre le sinus et le cosinus lemniscatique la relation
, qu'on peut réécrire
.
On a également des formules d'addition :
qui s'écrivent aussi :
, où est la dérivée de sl (voir la section suivante).
En utilisant la fonction arc tangente, ces formules se simplifient en :
Ces fonctions sont solutions de l'équation différentielle
Utilisant la fonction arc tangente, on a les relations plus simples :
.
Valeurs remarquables
On a les valeurs remarquables du sinus lemniscatique suivantes (on rappelle que est la demi-période) :
La relation permet d'en déduire les valeurs de cl ; par exemple, on peut obtenir par simple symétrie :
.
Fonctions réciproques
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La fonction réciproque de la fonction sinus lemniscatique, notée argsl, est définie par la relation sl(argsl(x)) = argsl(sl(x)) = x, valable dans des intervalles convenables (la restriction de sl aux intervalles [-1,1] et étant une bijection). On voit aisément, en revenant à la définition, que argsl est la primitive de la fonction qui s'annule en 0 ; cette primitive est une intégrale elliptique de première espèce, valant plus précisément .
(en) C. L. Siegel, « Topics in complex function theory. Vol. I: Elliptic functions and uniformization theory », Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, New York-London-Sydney, Wiley-Interscience A Division of John Wiley & Sons, vol. 25, (ISBN 0-471-60844-0, MR0257326)