Fonction zêta de Weierstrass
En mathématiques, les fonctions de Weierstrass sont des fonctions spéciales d'une variable complexe qui sont reliées à la fonction elliptique de Weierstrass .
Fonction sigma de Weierstrass
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La fonction sigma de Weierstrass associée à un réseau bidimensionnel est définie comme le produit infini
Fonction zêta de Weierstrass
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La fonction zêta de Weierstrass est définie par
La fonction est une dérivation logarithmique de la fonction sigma. La fonction zêta peut être ré-écrite comme :
où est la série d'Eisenstein de poids 2k+2.
La dérivée de la fonction zêta est
Fonction êta de Weierstrass
La fonction êta de Weierstrass est définie par
- et tout w dans le réseau
Cette fonction est bien définie, i.e. ne dépend que du vecteur w.
La fonction êta de Weierstrass ne doit pas être confondue avec la fonction êta de Dedekind.
Fonction ℘ de Weierstrass
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La fonction ℘ de Weierstrass est liée à la fonction zêta par :
C'est une fonction elliptique paire d'ordre N=2 avec un pôle double en chaque point du réseau et aucun pôle ailleurs.
Liens externes
- (en) « Weierstrass sigma function », sur PlanetMath
- (en) Eric W. Weisstein, « Weierstrass Zeta Function », sur MathWorld
- (en) Eric W. Weisstein, « Weierstrass Sigma Function », sur MathWorld