Fonction cylindre parabolique

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En mathématiques, les fonctions cylindre parabolique sont des fonctions spéciales définies comme des solutions à l'équation différentielle

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left({\tilde {a}}z^{2}+{\tilde {b}}z+{\tilde {c}}\right)f=0.}$

(1)

Cette équation apparait lorsque la technique de séparation des variables est utilisée sur l'équation de Laplace exprimée en coordonnées cylindriques paraboliques.

L'équation ci-dessus peut être amenée sous deux formes distinctes (A) et (B) en complétant le carré et en redimensionnant z, appelées équations de HF Weber (Weber 1869) :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}-\left({\frac {1}{4}}z^{2}+a\right)f=0}$ (A)

et

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left({\frac {1}{4}}z^{2}-a\right)f=0.}$ (B)

Si

${\displaystyle f(a,z)\,}$

est une solution, alors le sont aussi

${\displaystyle f(a,-z),f(-a,\mathrm {i} z){\text{ et }}f(-a,-\mathrm {i} z).\,}$

Si

${\displaystyle f(a,z)\,}$

est une solution de l'équation (A), alors

${\displaystyle f(-\mathrm {i} a,z\mathrm {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{4}})\,}$

est une solution de (B), et, par symétrie,

${\displaystyle f(-\mathrm {i} a,-z\mathrm {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{4}}),f(\mathrm {i} a,-z\mathrm {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{4}}}){\text{ et }}f(\mathrm {i} a,z\mathrm {e} ^{\frac {-\mathrm {i} \pi }{4}})\,}$

sont aussi des solutions de (B).

Il existe des solutions paires et impaires indépendantes de l'équation de la forme (A). Ceux-ci sont donnés par (suivant la notation d'Abramowitz et Stegun (1965)):

${\displaystyle y_{1}(a;z)=\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{4}};\;{\frac {1}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {paire} )}$

${\displaystyle y_{2}(a;z)=z\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}a+{\frac {3}{4}};\;{\frac {3}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {impaire} )}$

où ${\displaystyle \;_{1}F_{1}(a;b;z)=M(a;b;z)}$ est la fonction hypergéométrique confluente de première espèce.

D'autres paires de solutions indépendantes peuvent être formées à partir de combinaisons linéaires des solutions ci-dessus (voir Abramowitz et Stegun). Une telle paire est basée sur leur comportement à l'infini :

${\displaystyle U(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}}}\left[\cos(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)-{\sqrt {2}}\sin(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\right]}$

${\displaystyle V(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}\Gamma [1/2-a]}}\left[\sin(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)+{\sqrt {2}}\cos(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\right]}$

où

${\displaystyle \xi ={\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{4}}.}$

La fonction U(a , z) se rapproche de zéro pour les grandes valeurs de z et | arg(z)| < π/2, tandis que V(a , z) diverge pour les grandes valeurs de z réel positif.

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow \infty }U(a,z)/\mathrm {e} ^{-z^{2}/4}z^{-a-1/2}=1\,\,\,\,({\text{pour}}\,|\arg(z)|<\pi /2)}$

et

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow \infty }V(a,z)/{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {e} ^{z^{2}/4}z^{a-1/2}=1\,\,\,\,({\text{si}}\,\arg(z)=0).}$

Pour les valeurs demi-entières de a, celles-ci (c'est-à-dire U et V) peuvent être réexprimées en termes de polynômes d'Hermite ; alternativement, elles peuvent également être exprimés en termes de fonctions de Bessel.

Les fonctions U et V peuvent également être apparentées aux fonctions D_p(x) (une notation datant de Whittaker (1902)) qui sont elles-mêmes parfois appelées fonctions cylindre parabolique (voir Abramowitz et Stegun (1965)) :

${\displaystyle U(a,x)=D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(x),}$

${\displaystyle V(a,x)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+a)}{\pi }}\left[\sin(\pi a)D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(x)+D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(-x)\right].}$

La fonction D_a(z) a été introduite par Whittaker et Watson comme solution de l'équation ~(1) avec ${\displaystyle {\tilde {a}}=-{\frac {1}{4}},{\tilde {b}}=0,{\tilde {c}}=a+{\frac {1}{2}}}$ borné à ${\displaystyle +\infty }$ . Il peut être exprimé en termes de fonctions hypergéométriques confluentes comme

${\displaystyle D_{a}(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{2^{a/2}\mathrm {e} ^{-{\frac {z^{2}}{4}}}\left[\cos \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {a+1}{2}}\right)\,_{1}F_{1}\left(-{\frac {a}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{2}}\right)+{\sqrt {2}}z\sin \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {a}{2}}+1\right)\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2}};{\frac {3}{2}};{\frac {z^{2}}{2}}\right)\right]}.}$

Un développement en série entière pour cette fonction a été obtenue par Abadir (1993).

• (en) Abadir, K. M., « Expansions for some confluent hypergeometric functions », Journal of Physics A, n^o 26,‎ 1993, p. 4059-4066.
• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne)
• (en) « Fonction cylindre parabolique », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• (en) N. M. Temme, « Parabolic Cylinder Functions », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)
• (de) H.F. Weber, « Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung ${\displaystyle \partial ^{2}u/\partial x^{2}+\partial ^{2}u/\partial y^{2}+k^{2}u=0}$ », Math. Ann., vol. 1,‎ 1869, p. 1–36
• (en) Whittaker, E.T., « On the functions associated with the parabolic cylinder in harmonic analysis », Proc. London Math. Soc., n^o 35,‎ 1902, p. 417–427.
• (en) Whittaker, E. T. et Watson, G. N., A Course in Modern Analysis : The Parabolic Cylinder Function, Cambridge,, Cambridge University Press, 1990, 347-348 p., « 16.5 ».

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