Fonction B-différentiable

En analyse mathématique, la B-différentiabilité est un concept de différentiabiité plus faible que celui de Fréchet, dans lequel l'opérateur dérivée n'est pas requis d'être linéaire et borné, mais seulement positivement homogène et borné. La lettre B fait référence à Bouligand. Cet affaiblissement important de la définition permet toutefois de préserver des propriétés importantes, telles que la B-différentiabilité en chaîne et la formule des accroissements finis. Contrairement à la Fréchet-différentiabilité, la B-différentiabilité n'est pas détruite par la prise du minimum ou du maximum d'un nombre fini de fonctions, ce qui est un atout dans certaines circonstances.

Cette notion est, par exemple, utilisée pour définir et interpréter des algorithmes de recherche de zéro de fonctions non différentiables dans un sens classique et en démontrer des propriétés de convergence. Il en est ainsi de certains algorithmes newtoniens en optimisation avec contraintes et en complémentarité.

Soient ${\displaystyle \mathbb {E} }$ et ${\displaystyle \mathbb {F} }$ deux espaces normés, dont les normes sont toutes deux notées ${\displaystyle \|\cdot \|}$.

Cette définition requiert quelques éclaircissements et commentaires.

• La notion de B-différentiabilité a été introduite par Robinson (1987)^[1]. La lettre B fait référence à Georges Bouligand.
• On dit qu'une fonction ${\displaystyle H:\mathbb {E} \to \mathbb {F} }$ est positivement homogène (de degré un) si, quel que soit ${\displaystyle x\in \mathbb {E} }$ et le réel ${\displaystyle t\geqslant 0}$, on a ${\displaystyle H(tx)=t\,H(x)}$. Alors ${\displaystyle H(0)=0}$, clairement.
• Un opérateur positivement homogène ${\displaystyle H:\mathbb {E} \to \mathbb {F} }$ est dit borné si sa norme ${\displaystyle \|H\|}$, définie ci-dessous, est finie :
  
  ${\displaystyle \|H\|:=\sup _{\|x\|\leqslant 1}\,\|H(x)\|.}$
  Comme pour les opérateurs linéaires, il revient au même de dire que ${\displaystyle H}$ est continu en zéro.
• On a noté ${\displaystyle Bf(x)\cdot h\in \mathbb {F} }$ la valeur de ${\displaystyle Bf(x)}$ en ${\displaystyle h\in \mathbb {E} }$.
• On dit qu'une fonction ${\displaystyle \varphi :\mathbb {E} \to \mathbb {F} }$ est un petit o de ${\displaystyle h\in \mathbb {E} }$ en zéro et on écrit ${\displaystyle \varphi (h)=o(h)}$ si
  
  ${\displaystyle \lim _{\scriptstyle h\to 0 \atop \scriptstyle h\neq 0}\;{\frac {\|\varphi (h)\|}{\|h\|}}=0.}$

1. La fonction minimum composante par composante
   
   ${\displaystyle \mu :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}:(x,y)\mapsto \min(x,y),\quad {\mbox{avec}}\quad [\min(x,y)]_{i}=\min(x_{i},y_{i})}$
   est partout B-différentiable et sa B-dérivée est donnée par
   
   ${\displaystyle {\bigl [}B\mu (x,y)\cdot (h,k){\bigr ]}_{i}=\left\{{\begin{array}{ll}h_{i}&{\mbox{si}}~x_{i}<y_{i}\\\min(h_{i},k_{i})&{\mbox{si}}~x_{i}=y_{i}\\k_{i}&{\mbox{si}}~x_{i}>y_{i}.\end{array}}\right.}$
   On a un résultat analogue pour la fonction ${\displaystyle (x,y)\mapsto \max(x,y)=-\min(-x,-y)}$.
2. Si on compose ${\displaystyle \mu }$ avec deux fonctions ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ et ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ B-dérivables en ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, on obtient une fonction
   
   ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}:x\mapsto \min(f(x),g(x)),}$
   qui est aussi B-dérivable en ${\displaystyle x}$ et dont la B-dérivée est donnée par
   
   ${\displaystyle {\bigl [}B\varphi (x)\cdot (h){\bigr ]}_{i}=\left\{{\begin{array}{ll}[Bf(x)\cdot h]_{i}&{\mbox{si}}~[f(x)]_{i}<[g(x)]_{i}\\\min([Bf(x)\cdot h]_{i},[Bg(x)\cdot h]_{i})&{\mbox{si}}~[f(x)]_{i}=[g(x)]_{i}\\{}[Bg(x)\cdot h]_{i}&{\mbox{si}}~[f(x)]_{i}>[g(x)]_{i}.\end{array}}\right.}$
   On a un résultat analogue pour la fonction ${\displaystyle x\mapsto \max(f(x),g(x))=-\min(-f(x),-g(x))}$.

• Si ${\displaystyle f}$ est B-différentiable en ${\displaystyle x}$, sa B-dérivée est unique.
• L'ensemble des fonctions B-différentiables en ${\displaystyle x\in \mathbb {E} }$ est un espace vectoriel et on a
  
  ${\displaystyle \forall \,\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {R} :\qquad B(\alpha _{1}f_{1}+\alpha _{2}f_{2})(x)=\alpha _{1}Bf_{1}(x)+\alpha _{2}Bf_{2}(x).}$
  
  

Les liens avec la différentiabilité au sens de Fréchet sont clairs. Ci-dessous, on note ${\displaystyle f'(x)}$ la dérivée au sens de Fréchet.

Voici quelques liens avec la différentiabilité directionnelle (au sens de Dini). On note ${\displaystyle f'(x;h)}$ la dérivée directionnelle (au sens de Dini) en ${\displaystyle x\in \mathbb {E} }$ dans la direction ${\displaystyle h\in \mathbb {E} }$. Si le fait qu'une fonction B-différentiable admette des dérivées directionnelles est clair, la réciproque, pour des fonctions localement lipschiziennes, l'est moins ; ce dernier résultat est dû à Shapiro (1990)^[2].

En résumé, pour les fonctions localement lipschitziennes, la notion de B-différentiabilité est la même que celle de différentiabilité directionnelle (au sens de Dini).

La lipschitzianité locale éventuelle de ${\displaystyle f}$ se transmet à sa B-dérivée.

Mais en général, ${\displaystyle x\mapsto Bf(x)}$ n'est pas lipschitzienne dans un voisinage de ${\displaystyle x}$, ni même continue. Par exemple, si ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ est définie par

on a ${\displaystyle Bf(0)h=h^{+}}$, si bien que ${\displaystyle \|Bf(0)\|=1}$, alors que ${\displaystyle Bf(x)=0}$ pour ${\displaystyle x<0}$.

Le succès de la B-dérivée doit beaucoup à sa stabilité par rapport à la composition de fonctions^[1].

Le résultat suivant est dû à Pang (1990)^[3].

Voici les définitions de continue et forte B-différentiabilités.

Rappelons la définition analogue de la forte Fréchet différentiabilité.

Cette dernière notion de forte Fréchet différentiabilité en un point ne se diffuse pas : en particulier on peut avoir une fonction B-différentiable qui soit fortement Fréchet différentiable en un pont ${\displaystyle x}$ mais pas en des points arbitrairement proches de ${\displaystyle x}$^[3].

Les notions de forte B-différentiabilité et de forte Fréchet différentiabilité sont en réalité équivalentes.

Si ${\displaystyle f}$ est B-différentiable dans un voisinage de ${\displaystyle x}$, cette notion est très proche de la continue B-différentiabilité^[3].

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