Dualité (théorie des catégories)
En théorie des catégories, la dualité est une correspondance entre les propriétés d'une catégorie et les propriétés duales de sa catégorie opposée.
Étant donné un énoncé concernant une catégorie , on obtient l'énoncé dual de et noté , qui porte alors sur la catégorie duale , en interchangeant la source et la cible de chaque morphisme ainsi qu'en interchangeant l'ordre de composition de deux morphismes. Le principe de dualité est l'affirmation selon laquelle la valeur de vérité du nouvel énoncé est la même que celle de l'énoncé initial. En d’autres termes, est vraie dans si et seulement si est vraie dans .
Une autre catégorie est également dite en dualité avec , si et sont équivalentes en tant que catégories.
Dans le cas où et sa duale sont équivalentes, est dite auto-duale[1].
Définition formelle
Le langage élémentaire de la théorie des catégories se définit comme un langage de premier ordre de deux sortes, les objets et les morphismes.
Le langage contient aussi les symboles , qui désigne la relation de la source (à gauche de la flèche) et de la cible (à droite) d'un morphisme, et désignant la composition pour les morphismes.
Soit une affirmation quelconque exprimée dans ce langage, on forme le dual comme suit :
- Échanger les sources et les cibles. Par exemple, on écrira si contient .
- Intervertir les morphismes dans une composition. Par exemple, si contient , on écrira plutôt [note 1]
De manière informelle, cela revient à dire que pour transformer un énoncé en son dual, il suffit d'inverser le sens des flèches et les compositions dans celui ci.
Le principe de dualité est l'observation que est vraie dans si et seulement si est vraie dans [2],[3].
Exemples
Monorphisme et épimorphisme
On se munit d'une catégorie et d'un morphisme de :
Notons l'énoncé suivant : . L'énoncé désigne en fait l'énoncé « est un monomorphisme ».
Alors, l'énoncé s'écrit : . L'énoncé désigne en fait l'énoncé « est un épimorphisme ».
On dit que les notions de monomorphisme et d'épimorphisme sont duales[4].
En appliquant le principe de dualité, on constate que est un monomorphisme de si et seulement si son morphisme dual est un épimorphisme de .
Relation d'ordre
Pour un ensemble ordonné donné, on considère la catégorie dont l'ensemble des objets est , et pour tous , contient un unique élément si , et aucun sinon[5].
Un autre exemple est celui de l'inversion des inégalités d'un ordre. Si est un ensemble et une relation d'ordre sur , on peut définir une nouvelle relation par :
Alors, est le dual de . On en déduit donc, par principe de dualité, que est un ordre sur si et seulement si en est un.
Autres
- La limite est une notion duale de la colimite.
- La fibration est duale de la cofibration en topologie algébrique et en théorie de l'homotopie. Dans ce contexte, la dualité est souvent appelée dualité d'Eckmann-Hilton.
Voir aussi
- Foncteur adjoint
- Objet dual
- Dualité (mathématiques)
- Catégorie duale
- Carré de pulation
Bibliographie
- (en) « Dualité (théorie des catégories) », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
- (en) « Dualité (théorie des catégories) », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
- (en) « Dualité (théorie des catégories) », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
- Saunders Mac Lane, Categories for the working mathematician, Springer, coll. « Graduate texts in mathematics », (ISBN 978-1-4419-3123-8)
- Steve Awodey, Category theory, Oxford University Press, coll. « Oxford logic guides », (ISBN 978-0-19-958736-0 et 978-0-19-923718-0)
- Ibrahim Assem, Introduction au langage catégorique, Calvage & Mounet, coll. « Mathématiques en devenir », (ISBN 978-2-916352-97-8)
Références
- On notera que ce changement est légal, puisqu'on a auparavant échangé les sources et les cibles. En effet, si on a initialement et dans (auquel cas est bien légal), on aura dans et , et est bien légal. D'ailleurs, on aussi inversé la source et la cible de ce nouveau morphisme.
- Jiří Adámek et J. Rosicky, Locally Presentable and Accessible Categories, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-42261-1, lire en ligne), p. 62
- Mac Lane 1978, p. 33
- Awodey 2010, p. 53-55
- Assem 2022, p. 10
- Assem 2022, p. 15