Double produit de quaternions

Il est possible de calculer un double produit de quaternions, c'est-à-dire une expression de la forme :


dans laquelle il n'est pas nécessaire d'écrire des parenthèses puisque le produit est associatif.

Intéressons-nous au cas particulier dans lequel les quaternions extrêmes $Q\_1\backslash mbox\{\; et\; \}Q\_3\backslash ,$ sont inverses l'un de l'autre et utilisons les notations de type $Q\; =\; (a\backslash \; ,\backslash \; \backslash vec\; V)\backslash ,$ pour représenter les 3 quaternions :

.

Comme les quaternions $\backslash frac\{1\}\{\backslash |Q\_1\backslash |\}\backslash cdot\; (a\_1\backslash \; ,\backslash vec\; V\_1)$ et son inverse $\backslash frac\{1\}\{\backslash |Q\_1\backslash |\}\backslash cdot\; (a\_1\backslash \; ,-\backslash vec\; V\_1)$ sont unitaires, on peut les écrire sous la forme $Q\_1\; =\; \backslash left\; (\backslash cos\; \backslash varphi\backslash \; ,\; \backslash \; \backslash sin\; \backslash varphi\backslash \; \backslash vec\; U\; \backslash right\; )$ et $Q^\{-1\}\_1\; =\; \backslash left\; (cos\; \backslash varphi\backslash \; ,\; -\backslash sin\; \backslash varphi\backslash \; \backslash vec\; U\; \backslash right\; )\backslash ,$, d'où l'écriture :

En tenant compte de la distributivité du produit, on peut écrire :

<math>P = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec 0)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U) + (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)</math>

Ainsi le quaternion $P\backslash ,$ se décompose en $P\_1\; +\; P\_2\backslash ,$ avec :
<math>P_1 = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec 0)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)</math> et
<math>P_2 = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)</math>

Comme $(a\backslash \; ,\backslash \; \backslash vec\; 0)\backslash ,$ est un scalaire pur, le double produit représenté par $P\_1\backslash ,$ est commutatif et peut s'écrire plus simplement :
<math>P_1 = (a\ ,\ \vec 0) \cdot (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U) = (a\ ,\ \vec 0)\cdot (1, \vec 0) = (a\ ,\ \vec 0)</math>.
Par conséquent, on a :
<math>P = (a\ ,\ \vec 0) + P_2\,</math> avec <math>P_2 = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)</math>.

Portons donc notre attention sur le quaternion $P\_2\backslash ,$ en développant d'abord le premier produit, puis le second ; il vient d'abord :
$P\_2\; =\; \backslash left[-\backslash sin\; \backslash varphi\backslash \; (\backslash vec\; U\backslash cdot\; \backslash vec\; V),\; \backslash cos\; \backslash varphi\backslash \; \backslash vec\; V+\backslash sin\; \backslash varphi\backslash \; (\backslash vec\; U\backslash wedge\backslash vec\; V)\backslash right]\backslash cdot\; \backslash left[\backslash cos\; \backslash varphi,\; -\backslash sin\; \backslash varphi\backslash \; \backslash vec\; U\backslash right]$, puis :

<math>\begin{matrix}P_2 = \big[ &-&\sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\cdot \vec V) &+& \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec V\cdot \vec U) &+& \sin^2 \varphi\ (\vec U\wedge\vec V)\cdot \vec U,&\ \\\ &+& \sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U &+& \cos^2\varphi\ \vec V &+& \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V)&\ \\&-& \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec V\wedge\vec U) &-& \sin^2\varphi\ (\vec U\wedge \vec V)\wedge \vec U&\ &\ &\big] \end{matrix} </math>

En éliminant le produit mixte <math>(\vec U\wedge\vec V)\cdot \vec U</math> (qui est nul) et en développant le double produit vectoriel $(\backslash vec\; U\backslash wedge\; \backslash vec\; V)\backslash wedge\; \backslash vec\; U$, on obtient : $P\_2\; =\; \backslash Bigg[0\; \backslash \; ,\backslash \; \backslash sin^2\backslash varphi\backslash \; (\backslash vec\; U\backslash cdot\; \backslash vec\; V)\backslash \; \backslash vec\; U\; +\backslash \; \backslash cos^2\backslash varphi\backslash \; \backslash vec\; V\; +\; 2\backslash sin\; \backslash varphi\backslash \; \backslash cos\; \backslash varphi\backslash \; (\backslash vec\; U\backslash wedge\backslash vec\; V)\; -\; sin^2\backslash varphi\backslash \; \backslash left[(\backslash vec\; U\backslash cdot\; \backslash vec\; U)\backslash \; \backslash vec\; V\; -\; (\backslash vec\; V\backslash cdot\; \backslash vec\; U)\backslash \; \backslash vec\; U\; \backslash right]\backslash Bigg]$
puis successivement :
<math>P_2 = \Bigg[0 \ ,\ 2\sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \left[\cos^2\varphi\ - \sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec U)\right]\,\vec V\ +\ 2\sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \Bigg]</math>
<math>P_2 = \Bigg[0 \ ,\ 2\sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \left[\cos^2\varphi\ - \sin^2\varphi\right]\vec V\ +\ 2\ \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \Bigg]</math>
<math>P_2 = \left[0 \ ,\ \cos 2\,\varphi\ \, \vec V\ + \ (1-\cos 2\,\varphi)\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \ \sin 2\,\varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \right]</math>

Ainsi, il est établi que si le vecteur $\backslash vec\; U\backslash ,$ est unitaire, l'égalité suivante est toujours vérifiée :

Or, dans l'expression qui apparaît dans la composante vectorielle du deuxième quaternion du membre de droite de cette égalité, à savoir :

on peut reconnaître l'expression vectorielle du vecteur transformé du vecteur <math>\vec V\,</math> dans la rotation <math>\mathbf R\left[2\,\varphi\,\,; \vec U\right]</math> d'angle <math>2\,\varphi\,</math> et d'axe orienté <math>\vec U</math> normé.

De la démonstration précédente, on peut tirer l'importante conclusion générale suivante.

Conclusion

En posant finalement : $\backslash alpha\; =\; 2\; \backslash ,\; \backslash varphi$, on voit donc que, dans la rotation <math>\mathbf R\left[\alpha\,\,; \vec U\right]</math> d'angle <math>\alpha\,</math> et d'axe orienté <math>\vec U</math> normé,

le transformé $\backslash vec\; V\text{'}\; =\; \backslash mathbf\; R\_\{\backslash left[\backslash alpha,\; \backslash vec\; U\backslash right]\}(\backslash vec\; V)\backslash ,$ de tout vecteur $\backslash vec\; V\backslash ,$ peut être calculé :

• soit grâce à l'égalité quaternionique suivante :

• soit grâce à l'égalité vectorielle :

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