Constante de Robbins

En géométrie, la constante de Robbins, du nom du mathématicien américain David P. Robbins , est la distance moyenne entre deux points pris au hasard dans le cube unité (côté de longueur 1).

Elle est égale par définition à l'intégrale sextuple ${\displaystyle I=\int \limits _{[0,1]^{6}}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}dx_{1}dx_{2}dy_{1}dy_{2}dz_{1}dz_{2}}$ dont le calcul donne^[1]

${\displaystyle {\frac {4+17{\sqrt {2}}-6{\sqrt {3}}-7\pi }{105}}+{\frac {\ln(1+{\sqrt {2}})}{5}}+{\frac {2\ln(2+{\sqrt {3}})}{5}}}$,

soit environ^[2] ${\displaystyle 0{,}6617}$ (décimales données par la suite  A073012 de l'OEIS) .

Remarque :

• la distance moyenne entre deux points du segment unité vaut ${\displaystyle 1/3}$
• la distance moyenne entre deux points du carré unité vaut ${\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln({\sqrt {2}}+1)}{15}}\approx 0,5214}$, voir la suite A091505 de l'OEIS
• la distance moyenne entre deux points du disque unité (rayon 1) vaut ${\displaystyle {\frac {128}{45\pi }}\approx 0,9054}$, voir la suite A093070 de l'OEIS.

Si u et v suivent une loi uniforme alors ${\displaystyle w=|u-v|}$ suit une loi triangulaire de fonction de répartition ${\displaystyle 2(1-w)}$. Donc en posant ${\displaystyle x=|x_{2}-x_{1}|,y=|y_{2}-y_{1}|,z=|z_{2}-z_{1}|}$, ${\displaystyle I=8\int \limits _{[0,1]^{3}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}(1-x)(1-y)(1-z)dxdydz}$ ; on passe ensuite en coordonnées sphériques.

François Le Lionnais, Les nombres remarquables, Hermann, 1983 puis 1999 (ISBN 2-7056-1407-9)

• Constante parabolique universelle, donnant six fois la moyenne de la distance d'un point du carré unité au centre de ce carré.

• (en) Eric W. Weisstein, « Robbins Constant », sur MathWorld(en)

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