Constante de Gelfond-Schneider

La constante de Gelfond-Schneider, mentionnée par David Hilbert comme exemple (avec la constante de Gelfond) dans son 7^e problème^[1], est :

${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}=2{,}665144142\ldots }$^[2].

Rodion Kuzmin prouva en 1930^[3] que ce nombre — et plus généralement, tout nombre de la forme α^β avec α algébrique différent de 0 et de 1 et β irrationnel quadratique — est transcendant, et Aleksandr Gelfond généralisa ce résultat en 1934, en démontrant le théorème de Gelfond-Schneider.

Sa racine carrée est le nombre transcendant

${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}=1{,}6325269\ldots }$

qui peut être utilisé dans une preuve qu'une puissance irrationnelle d'un nombre irrationnel peut parfois être rationnelle, parce que ${\displaystyle \left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}=2}$. En utilisant le tiers exclu, on peut aboutir à la même conclusion sans savoir que ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ est irrationnel).

• Arithmétique et théorie des nombres