Équation de Rarita-Schwinger

En physique théorique, l’équation de Rarita-Schwinger décrit le comportement des fermions de spin –3/2. Cette équation est similaire à celle de Dirac qui s'applique aux particules élémentaires de spins demi-entiers, comme les électrons. Elle a été formulée pour la première fois par William Rarita et Julian Schwinger en 1941. Elle peut être écrite de la manière suivante^[1] :

${\displaystyle \left(\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\gamma _{5}\gamma _{\nu }\partial _{\rho }+m\sigma ^{\mu \sigma }\right)\psi _{\sigma }=0}$

où ${\displaystyle \epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }}$ est le symbole de Levi-Civita, ${\displaystyle \gamma _{5}}$ et ${\displaystyle \gamma _{\nu }}$ sont les matrices de Dirac, ${\displaystyle m}$ est la masse, ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }\equiv i/2\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]}$ et ${\displaystyle \psi _{\sigma }}$ est un spineur à valeurs vectorielles avec des composantes supplémentaires par rapport au spineur à quatre composants de l'équation de Dirac. Il correspond à la théorie de la représentation du groupe de Lorentz ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)\otimes \left(\left({\tfrac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\tfrac {1}{2}}\right)\right)}$, ou plutôt à sa partie ${\displaystyle \left(1,{\tfrac {1}{2}}\right)\oplus \left({\tfrac {1}{2}},1\right)}$^[2]. Cette équation de champ peut être calculée comme l'équation d'Euler-Lagrange correspondant au lagrangien de Rarita-Schwinger^[1] :

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\tfrac {i}{2}}\;{\bar {\psi }}_{\mu }\left(\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\gamma _{5}\gamma _{\nu }\partial _{\rho }+m\sigma ^{\mu \sigma }\right)\psi _{\sigma }}$

où ${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\mu }}$ est l’adjoint de Dirac.

Cette équation est utile pour les fonctions d'onde d'objets composites comme les baryons Delta (Δ) ou pour l'hypothétique gravitino. Aucune particule élémentaire de spin 3/2 n'a été observée expérimentalement.

• (en) W. Rarita et J. Schwinger, « On a Theory of Particles with Half-Integral Spin », Phys. Rev., n^os 60, 61,‎ 1941 (lire en ligne)
• (en) P. D. B. Collins, A. D. Martin et E. J. Squires, Particle Physics and Cosmology, Wiley, 1989, Chapitre 1.6
• (en) G Velo et D. Zwanziger, « Propagation and Quantization of Rarita-Schwinger Waves in an External Electromagnetic Potential », Phys. Rev, n^os 86, 1337,‎ 1969
• (en) G. Velo et D. Zwanziger, « Noncausality and Other Defects of Interaction Lagrangians for Particles with Spin One and Higher », Phys. Rev, n^os 188, 2218,‎ 1969
• (en) M. Kobayashi et A. Shamaly, « Minimal electromagnetic coupling for massive spin-two fields », Phys. Rev, n^o D 17,8, 2179,‎ 1978

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