Masse réduite

En physique, la masse réduite est la masse attribuée à l'objet fictif mis en œuvre dans la simplification des problèmes d'interaction de deux corps de la mécanique newtonienne.

On note habituellement la masse réduite par la lettre grecque μ et ses unités SI sont les mêmes que celles de la masse : les kilogrammes (kg).

Équations

Problème à deux corps

Soit deux particules en interaction mutuelle, l'une de masse et l'autre de masse , le mouvement de ces deux masses peut être réduit au mouvement d'une seule particule de masse (réduite)  :

La force appliquée sur cette masse est la résultante des forces entre les masses initiales. Le problème est alors résolu mathématiquement en remplaçant les masses comme suit:

et

Problème à N corps

La définition de masse réduite peut être généralisée au Problème à N corps:

Approximation

Lorsque la masse est très supérieure à la masse la masse réduite est approximativement égale à la plus faible des masses :

Dérivation

Les équations de la mécanique sont dérivées comme suit.

Mécanique newtonienne

La deuxième loi de Newton permet d'exprimer la force exercée par la particule 2 sur la particule 1 comme

La force exercée par la particule 1 sur la particule 2 est

La troisième loi de Newton prévoit que le force exercée par la particule 2 sur la particule 1 est égale et opposée à la force exercée par la particule 1 sur la particule 2

Ainsi,

et

L'accélération relative arel entre les deux corps est donnée par

Ceci permet de conclure que la particule 1 se déplace par rapport à la position de la particule 2 comme s'il s'agissait d'un corps de masse équivalente à la masse réduite.

Mécanique lagrangienne

Le problème à deux corps est décrit en mécanique lagrangienne par le lagrangien suivant

ri est le vecteur de position de la particule (de masse mi) et V est une fonction d'énergie potentielle, qui ne dépend que de la distance entre les particules (condition nécessaire pour conserver l'invariance translationnelle du système). On définit

et on positionne l'origine du système de coordonnées utilisé afin qu'il coïncide avec le centre de masse, ainsi

.

De cette manière,

En substituant ceci dans le lagrangien on obtient

un nouveau lagrangien pour une particule de masse réduite :

Nous avons donc réduit le problème initial à deux corps à un problème simplifié à un corps.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Reduced mass » (voir la liste des auteurs).

John R. Taylor (trad. de l'anglais par Tamer Becherrawy et Aurélie Cusset), Mécanique classique, Bruxelles/Paris, De Boeck, , 877 p. (ISBN 978-2-8041-5689-3)