Vitesse Sfeirienne

La vitesse Sfeirienne est une vitesse remarquable utilisée dans la conception des tonneaux aux 19^ème siècle. La vitesse était utilisée en conception des matériaux comme limite afin de concevoir la tauge en contact avec le sol. Historiquement plusieurs essais du tonneau ont été réalisés dans Beacon Hill à Boston.^[1]

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Représentation d'un tonneau sous le système de coordonnées cylindriques. La vitesse recherchée est celle du point M.

Cette vitesse est approximée à 40 m/s (144 km/h) et a la particularité d’être utilisable pour n’importe quel tonneau d'un baril américain.

Calcul de la vitesse

Le tonneau est représenté dans le système de coordonnées cylindriques ρ,θ,z et la base associée $(\; \backslash overrightarrow\{u\}\_\backslash rho\; ,\; \backslash overrightarrow\{u\}\_\backslash theta\; ,\; \backslash overrightarrow\{u\}\_z\; )$.

Ainsi, la position du point M dans cette base s'écrit de la forme suivante:

<math>\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PM} = \rho\overrightarrow{u}_\rho + z\overrightarrow{u}_z</math>

Les composantes du vecteur position $\backslash overrightarrow\{OM\}$ sont : (ρ,θ,z)

Le problème est ensuite simplifié en considérant non plus le tonneau en entier, mais dans une vue de coordonnées polaires d’une vue du dessus.

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Représentation correspondante d'un tonneau sous le système de coordonnées polaire. La vitesse recherchée est celle du point M.

La vitesse du point M par rapport à l’origine O peut alors s’écrire comme la dérivée du vecteur <math>\overrightarrow{OM}</math>.

<math>d\overrightarrow{OM} = d\overrightarrow{l} = \overrightarrow{V}(t) dt =d\rho\overrightarrow{u}_\rho + \rho d\theta\overrightarrow{u}_\theta</math>

Considérant le tonneau non déformable, l’expression revient à :

<math>\lVert V_M(t) \rVert = \rho d\theta</math>

La partie la plus en contact avec le sol correspond au bouge de rayon 281⁄2 (36 cm). Conception normalisé d’un US dry barrel et US barrel for cranberries^[2]. La vitesse angulaire ω du tonneau obtenu lors de l’expérience est de 1.1 rad/s.

Notes et références

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