Théorème de convergence monotone

Référence : Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], Masson, 1977, p. 21.

Notons

${\displaystyle f=\lim _{n\to +\infty }f_{n}\quad {\text{et}}\quad I=\int f~\mathrm {d} \mu }$

et pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ :

${\displaystyle I_{n}=\int f_{n}~\mathrm {d} \mu .}$

Comme la suite de fonctions ${\displaystyle (f_{n})}$ est croissante et majorée par ${\displaystyle f}$, la suite ${\displaystyle (I_{n})}$ (à valeurs dans ${\displaystyle \left[0,+\infty \right]}$) est croissante — donc sa limite (éventuellement infinie) existe — et cette suite est majorée par ${\displaystyle I}$. On a donc :

${\displaystyle \lim I_{n}\leq I}$.

Pour démontrer l'inégalité dans l'autre sens, considérons une fonction étagée ${\displaystyle s}$ telle que

${\displaystyle 0\leq s\leq f}$.

Soit ${\displaystyle c}$ une constante strictement inférieure à 1, posons

${\displaystyle E_{n}=\{x\in E\mid f_{n}(x)\geq cs(x)\}}$.

Par construction, on a :

${\displaystyle I_{n}\geq \int _{E_{n}}f_{n}~\mathrm {d} \mu \geq c\int _{E_{n}}s~\mathrm {d} \mu }$.

De plus, les ensembles mesurables ${\displaystyle E_{n}}$ forment une suite croissante dont la réunion est ${\displaystyle E}$. Par conséquent,

${\displaystyle \lim \int _{E_{n}}s~\mathrm {d} \mu =\int s~\mathrm {d} \mu }$.

Donc

${\displaystyle \lim I_{n}\geq c\int s~\mathrm {d} \mu }$,

et ce pour tout ${\displaystyle c<1}$, autrement dit :

${\displaystyle \lim I_{n}\geq \sup _{c<1}~c\int s~\mathrm {d} \mu }$

c'est-à-dire :

${\displaystyle \lim I_{n}\geq \int s~\mathrm {d} \mu }$.

Comme cette inégalité est vraie pour toute fonction étagée positive ${\displaystyle s}$ majorée par ${\displaystyle f}$, par définition de ${\displaystyle I}$ on obtient bien :

${\displaystyle \lim I_{n}\geq I}$.