Théorème d'interversion série-intégrale

Théorème — Soient (X, 𝒜, μ) un espace mesuré complet (par exemple un intervalle de ℝ, muni de la tribu de Lebesgue et de la mesure de Lebesgue), E un espace euclidien (par exemple ℝ ou ℂ) et ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite de fonctions intégrables de X dans E. On suppose que la série numérique ${\displaystyle \sum _{n}\left(\int \|f_{n}\|~\mathrm {d} \mu \right)}$ converge.

Alors la série de fonctions ${\displaystyle \sum f_{n}}$ converge presque partout sur X vers une fonction intégrable et

${\displaystyle \int \left(\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\right)~\mathrm {d} \mu =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\int f_{n}~\mathrm {d} \mu \right).}$

Théorème — Soient I un segment de ℝ et ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite de fonctions continues de I dans E.

On suppose que la série de fonctions ${\displaystyle \sum f_{n}}$ converge uniformément sur I vers une fonction S.

Alors S est continue sur I et

${\displaystyle \int _{I}S(x)~\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\int _{I}f_{n}(x)~\mathrm {d} x\right).}$