Théorème de de Gua

En mathématiques, le théorème de de Gua est une extension du théorème de Pythagore à la géométrie dans l'espace. Il a été énoncé par René Descartes et Johann Faulhaber dès 1622. Jean-Paul de Gua de Malves le démontre en 1783 en utilisant les formules de Héron d'Alexandrie^[1].

Soit OABC un tétraèdre trirectangle en O.

Le carré de l'aire de la face ABC est la somme des carrés des aires des trois autres faces.

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{ABC}^{2}={\mathcal {A}}_{\color {blue}ABO}^{2}+{\mathcal {A}}_{\color {green}ACO}^{2}+{\mathcal {A}}_{\color {red}BCO}^{2}}$

Notons a, b, c les longueurs respectives des arêtes OA, OB, OC.

Soit ${\displaystyle A=(a,0,0)}$(etc.) dans le repère ${\displaystyle (O,i,j,k)}$ avec ${\displaystyle i={\frac {\vec {OA}}{a}}}$(etc.) Utilisons alors le produit vectoriel et son interprétation en termes d'aire. Alors ${\displaystyle ||{\vec {BC}}\wedge {\vec {BA}}||^{2}=a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}$ d'où la formule.

La formule s'étend aux dimensions supérieures^[2], ce que remarque Descartes pour la dimension 4, dans ses notes^[3] dès 1619-1623.

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