Théorème de Girard

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En géométrie, et plus particulièrement en géométrie sphérique, le théorème de Girard est un théorème reliant la somme des angles d'un triangle sphérique et l'aire de ce dernier. Il porte le nom du mathématicien français Albert Girard qui la découvre en 1628.

Tandis qu'en géométrie euclidienne, la somme des angles d'un triangle fait toujours ${\displaystyle 180}$° (ou ${\displaystyle \pi }$ radians), cette affirmation n'est plus vraie en géométrie sphérique. Cette somme est en effet supérieure à ${\displaystyle 180}$°. Dès lors, le théorème de Girard est un raffinement de cette dernière affirmation :

Dans le cas où la sphère a un rayon ${\displaystyle R}$ quelconque, la formule devient ${\displaystyle (\alpha +\beta +\gamma )=\pi +{\frac {\mathcal {A}}{R^{2}}}}$.

Cette formule découverte au XVII^e siècle trouve une généralisation quelque deux cents ans plus tard, en 1848, grâce à la formule de Gauss-Bonnet (locale). En considérant ${\displaystyle G}$ un espace simplement connexe délimité par une courbe lisse par morceaux, notés ${\displaystyle \gamma _{1},...,\gamma _{n}}$, sur une surface ${\displaystyle M}$, et en notant ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}}$ les angles entre les morceaux, on a

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}k_{g}ds+\sum _{k=1}(\pi -\alpha _{k})=2\pi -\int _{G}Kd\sigma }$

où ${\displaystyle \int _{G}Kd\sigma }$ désigne la courbure de Gauss.

• Formule de Gauss-Bonnet

• (en) Victor V. Prasolov, Differential Geometry, Springer, coll. « Moscow Lectures », 2022, 271 p. (ISBN 978-3-030-92251-1)

• Baptiste Chantraine, « Le théorème de Girard pour les triangles sphériques », sur YouTube, mai 2017 (consulté le 22 juin 2024)

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