Système temps continu
Un système temps-continu est un système mettant en jeu des signaux analogiques, c'est-à-dire des signaux qui peuvent être vus comme des fonctions d'un temps modélisé par la droite réelle [1]. Ces signaux temps-continu peuvent tout-à-fait présenter des discontinuités, l'important étant que le signal possède une valeur bien définie à chaque instant[2].
On parle de systèmes temps-continu par opposition aux systèmes temps-discret (quand on travaille en numérique par exemple). En effet, les appareils numériques nécessitent un échantillonnage de données pour pouvoir manipuler des données analogiques.
Systèmes linéaires à temps continu
Représentation d'état
En automatique, un système linéaire, temps continu et de dimension finie est un système donné par la représentation d'état suivante :
avec :
- : un vecteur colonne qui représente les variables d'état ;
- : un vecteur colonne qui représente les commandes ;
- : un vecteur colonne qui représente les sorties ;
- : la matrice d'état ;
- : la matrice de commande (ou matrice d'entrée) ;
- : la matrice d'observation (ou matrice de sortie) ;
- : la matrice d'action directe.
et où représente la dérivée temporelle de à l'instant .
Lorsque les matrices de cette représentation d'état sont indépendantes du temps , le système est dit linéaire temps-invariant (LTI). Inversement, lorsque les matrices sont dépendantes du temps , on parle de système linéaire temps-variant (LTV)[3]. En particulier, lorsque les matrices de la représentation d'état dépendent périodiquement du temps, soit pour tout , avec la période du système, le système est dit linéaire temps-périodique (LTP)[4].
Matrice de transition d'état, trajectoire
Pour toute trajectoire vérifiant (on parle alors de la trajectoire d'état en régime libre, car l'entrée est fixée à 0), on a pour tout une matrice inversible , appelée matrice de transition d'état, ou matrice résolvante[5], telle que :
La matrice de transition d'état vérifie les propriétés suivantes :
- Identité :
- Relation de Chasles :
- Inverse :
- Solution de l'équation différentielle :
On peut déterminer l'expression exacte de la matrice de transition d'état de plusieurs manières :
- Si la matrice est temps-invariant, la matrice de transition est donnée par le biais d'une exponentielle de matrice, avec .
- Si la matrice est temps-variant, la matrice de transition peut être déterminée à l'aide de la série de Peano-Baker[6], où les sont définis récursivement par .
- Si la matrice est temps-variant, et que la famille des matrices commute (i.e. pour tout , la relation est vérifiée), alors la matrice de transition est à nouveau donnée par le biais d'une exponentielle de matrice, avec .
- Si la matrice est temps-périodique, par le théorème de Floquet, la matrice de transition peut s'écrire sous la forme avec une matrice périodique (de période minimale T) inversible et une matrice constante. Ces matrices peuvent être à coefficients complexes, même lorsque les matrices de la représentation d'état sont réelles.
Étant donné la condition initiale , la trajectoire de l'état du système linéaire décrit plus haut est donnée à chaque instant par :
L'expression de cette trajectoire nous renseigne sur deux propriétés importantes des systèmes linéaires :
- Principe de causalité : L'état à un instant ne dépend que de l'état à l'instant initial et des valeurs de la commande entre l'instant et . Autrement dit, la flèche du temps est respectée.
- Principe de superposition : Soit deux trajectoires et , de condition initiales et , et influencées respectivement par les commandes et . Soit deux réels. La trajectoire de condition initiale et influencée par la commande est donnée par . De même, on peut trouver . Ceci est une simple conséquence de la linéarité de la représentation d'état.
Matrice de transfert
Pour les systèmes linéaire temps-invariant (LTI), la matrice de transfert est une matrice dont les coordonnées sont des fonctions rationnelles, et qui est définie dans le cas temps-continu comme la transformée de Laplace de la relation entrée-sortie du système, considéré avec une condition initiale [7]. Elle généralise la notion de fonction de transfert des systèmes SISO aux systèmes MIMO.
La relation entrée-sortie est alors donnée par :
et dénotent ici la transformée de Laplace des signaux et respectivement. Les coordonnées de fournissent ainsi la fonction de transfert de la -ème entrée vers la -ème sortie.
Systèmes non linéaires à temps continu
Un système non linéaire est un système qui présente un comportement intrinsèquement distinct du cas linéaire. Parmi les sources classiques de non-linéarités, on peut mentionner les phénomène de saturations, ou de retards des signaux traités par le système. À la différence des systèmes linéaires, les systèmes non-linéaires ne respectent en général pas le principe de superposition. En revanche, le principe de causalité reste habituellement valable.
Représentation d'état
De manière standard, la dynamique des systèmes non linéaires temps continu est représentée par le biais d'une équation différentielle ordinaire non linéaire paramétrée par l'entrée . La représentation d'état d'un système non linéaire a généralement la forme suivante :
Il est à noter que, bien qu'habituelle, cette représentation ne permet pas de tenir compte de l'intégralité des non-linéaires pouvant apparaître au sein d'un système. Typiquement, les phénomènes de retards ne peuvent être pris en compte qu'en substituant l'équation différentielle ordinaire de cette représentation d'état par une équation différentielle à retard, par exemple sous la forme :
où et représentent les trajectoires passés de l'état et de la commande . Les fonctions et deviennent alors des opérateurs fonctionnels. On parle de systèmes à retard.
Comme pour les systèmes linéaires, on parle de système temps-variant ou temps-invariant suivant si les fonctions et dépendent ou non du temps .
Une classe important des systèmes non linéaire temps continu et invariant est celle des systèmes à entrée affine[8]. Leur représentation d'état est donnée par :
Références
- Yves Granjon, « Chapitre 14. Représentation d’état des systèmes à temps continu », Sciences Sup, vol. 4, , p. 323–357 (lire en ligne, consulté le )
- (en) Fernando A. C. C. Fontes, « Discontinuous feedbacks, discontinuous optimal controls, and continuous‐time model predictive control », International Journal of Robust and Nonlinear Control, vol. 13, nos 3-4, , p. 191–209 (ISSN 1049-8923 et 1099-1239, DOI 10.1002/rnc.813, lire en ligne, consulté le )
- Cristiano Marcos Agulhari, « Stabilité et commande des systèmes linéaires variant dans le temps aux paramètres incertains », Thèse, INSA de Toulouse, (lire en ligne, consulté le )
- Flora Vernerey, Pierre Riedinger, Andrea Iannelli et Jamal Daafouz, A harmonic framework for the identification of linear time-periodic systems, (lire en ligne)
- « Matrice résolvante - opérateur résolvant », sur www.bibmath.net (consulté le )
- (en) Michael Baake et Ulrike Schlägel, « The Peano-Baker series », Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, vol. 275, no 1, , p. 155–159 (ISSN 1531-8605, DOI 10.1134/S0081543811080098, lire en ligne, consulté le )
- « 1. Transfer function matrices — Dynamics and Control with Jupyter Notebooks 0.0.1 documentation », sur dynamics-and-control.readthedocs.io (consulté le )
- « 15.4.1 Control-Affine Systems », sur lavalle.pl (consulté le )
Voir aussi
Bibliographie
- Eugène Dieulesaint, Daniel Royer, Automatique appliquée, tome 1 : Systèmes linéaires de commande à signaux analogiques, Elsevier Masson, (ISBN 978-2225811777)
- Pierre Borne, Geneviève Dauphin-Tanguy, Jean-Pierre Richard, Frédéric Rotella, Irène Zambettakis, Analyse et régulation des processus industriels, tome 1 : Régulation continue, Editions Technip, , 504 p. (ISBN 9782710806424)