Spirale de Sacks

La spirale de Sacks, créée par Robert Sacks en 1994, est une variante de la spirale d'Ulam. Elle diffère de la spirale d'Ulam de trois manières :

• Elle place les points sur une spirale d'Archimède plutôt que sur une spirale carrée.
• Elle place le zéro au centre de la spirale.
• Elle effectue une rotation complète à chaque carré parfait, plutôt qu'une demi-rotation comme dans la spirale d'Ulam.

La position de chaque entier est représentée par les coordonnées polaires suivantes :

• ${\displaystyle r={\sqrt {n}}}$
• ${\displaystyle a={\sqrt {n}}}$

où a représente un nombre de rotations, et non un angle en radians ou degrés.

• Alignements toujours vides en nombres premiers :
  • Rayon horizontal de droite : nombres carrés ⇒ jamais premiers
  • Ligne immédiatement inférieure : nombres de la forme n² – 1 ⇒ toujours divisibles par n + 1 et n – 1
  • Rayon horizontal de gauche : nombres de la forme n² + n ⇒ toujours divisibles par n et n + 1.
  • Voisinage des rayons verticaux.

• Courbes apparaissant anormalement denses en nombres premiers.
  • Spirale dense en nombres premiers se terminant, dans l'illustration ci-contre, presque au bas du disque : Nombres de la forme n² + n + 41, Il s'agit du polynôme découvert par Leonhard Euler en 1774 et qui porte son nom.
  • Autre spirale dense, 24 rangs au-dessus : nombres de la forme n² + n + 17
  • Ligne immédiatement au-dessus du rayon horizontal de gauche : nombres de la forme n² + n – 1

L'étendue de ces alignements aux grands nombres premiers est aujourd'hui inconnue.

Crédit image:

Cortexd

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Tout comme pour la spirale d'Ulam, une autre façon de mettre en évidence des courbes remarquables est de tracer au-dessus de chaque nombre placé sur la spirale, un disque de diamètre égal à son nombre de diviseurs. Les nombres premiers sont donc représentés par un disque de diamètre 2.

• Spirale d'Ulam
• Spirale d'Archimède

• (en) NumberSpiral.com - Site de Robert Sacks
• (en) The Sacks Number Spiral - Natural Numbers
• (en) The Distribution of Prime Numbers on the Square Root Spiral - Harry K. Hahn, 30 juin 2007 [PDF]
• Spiral de Sacks - Une version en Tcl/Tk avec une généralisation selon le nombre de diviseurs, Le Wiki tcl francophone

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