Quadrupôle électrostatique

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En électrostatique, un quadrupôle est une distribution de charges telle que les barycentres des charges positives et des charges négatives soient confondus.

Soit une distribution ${\displaystyle ({\mathcal {D}})}$ de charges ${\displaystyle q_{i}}$ aux points ${\displaystyle P_{i}}$. Cette distribution ${\displaystyle ({\mathcal {D}})}$ à support compact crée à une grande distance des charges (pour ${\displaystyle r\gg a}$, avec ${\displaystyle a}$ longueur caractéristique de la distribution) un potentiel ${\displaystyle V_{1}(r)}$.

On définit :

• ${\displaystyle {\vec {r_{i}}}={\vec {OP_{i}}}}$
• ${\displaystyle q=\sum _{i}q_{i}}$ la somme des charges
• ${\displaystyle {\vec {p}}(O)=\sum _{i}q_{i}{\vec {r_{i}}}}$, indépendant de ${\displaystyle O}$ si ${\displaystyle q=0}$, nul si ${\displaystyle O}$ est choisi barycentre des charges
• ${\displaystyle J_{O}=\sum _{i}q_{i}r_{i}^{2}}$, le moment d'inertie par rapport à ${\displaystyle O}$
• ${\displaystyle {\hat {J}}({\vec {X}})=\sum _{i}q_{i}{\vec {r_{i}}}\wedge ({\vec {X}}\wedge {\vec {r_{i}}})}$, l'opérateur linéaire d'inertie par rapport à ${\displaystyle O}$
• ${\displaystyle {\hat {Q}}=2J_{o}X-3{\hat {J}}X}$, l'opérateur linéaire quadrupolaire en ${\displaystyle O}$

On peut vérifier que ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ est de trace nulle : ${\displaystyle {\textrm {Tr}}\ {\hat {Q}}=0}$.

Dans le cas d'une distribution continue de charge, l'expression de la composante ${\displaystyle Q_{ij}}$ du tenseur quadrupolaire est

${\displaystyle Q_{ij}=\int \rho \left(3r_{i}r_{j}-\|r\|^{2}\delta _{ij}\right){\textrm {d}}^{3}{\vec {r}}}$, où ${\displaystyle \delta _{ij}}$ est le symbole de Kronecker.

Théorème :

${\displaystyle V_{1}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{r}}+{\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {u}}}{r^{2}}}+{\frac {{\vec {u}}\cdot \left({\hat {Q}}{\vec {u}}\right)}{2r^{3}}}\right)+o\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)}$, avec ${\displaystyle {\vec {u}}={\frac {\vec {r}}{r}}}$

En gravimétrie, ce théorème s'appelle formule de MacCullagh.

Lorsque ${\displaystyle ({\mathcal {D}})}$ possède une symétrie de révolution, les expressions du moment quadrupolaire se simplifient et ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ est diagonale.

Si on suppose la symétrie autour de l'axe ${\displaystyle (Oz)}$, alors la matrice des moments est ${\displaystyle Q_{x,x}=Q_{y,y}=-Q_{o}/2}$ et ${\displaystyle Q_{z,z}=Q_{o}}$.

Si ${\displaystyle q}$ n'est pas nul, on choisit ${\displaystyle O}$ en ${\displaystyle G}$, et alors :

${\displaystyle V_{1}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{r}}+{\frac {Q_{o}}{2r^{3}}}\cdot P_{2}(\cos \theta )\right)+o\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)}$, avec ${\displaystyle P_{2}(x)={\frac {3x^{2}-1}{2}}}$ (3^e polynôme de Legendre).

Ce théorème vaut en gravimétrie pour la Terre supposée de révolution. Dans ce cas, ${\displaystyle Q_{o}=2(A-C)<0}$ ; l'usage est de poser ${\displaystyle J_{2}={\frac {C-A}{Ma^{2}}}=1,08263\times 10^{-3}}$.

Le potentiel terrestre est ainsi ${\displaystyle V(M)=-{\frac {GM}{r}}+{\frac {GMaJ_{2}P_{2}(\cos \theta )}{r^{3}}}}$.

Ce développement peut être poussé plus loin (développement en harmoniques sphériques; termes en ${\displaystyle J_{4}}$ (octupolaire), ${\displaystyle J_{6}}$, etc.).

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