Plus grand nombre premier connu

Graphique du nombre de chiffres du plus grand nombre premier connu par année, depuis l’avènement de l'ordinateur électronique. L'échelle verticale est logarithmique ; la ligne rouge est la courbe exponentielle avec le meilleur ajustement : y = exp(0,187394 t – 360,527), où t est en années.

Depuis janvier 2018, le plus grand nombre premier connu est :

C'est un nombre comportant 23 249 425 chiffres lorsqu'il est écrit en base 10. Il a été découvert le par le Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), et confirmé le .

Euclide a démontré qu'il n'existe aucun nombre premier qui est plus grand que tous les autres ; ce qui signifie qu'il existe une infinité de nombre premiers. Malgré, ou du fait de, cette absence de limite, beaucoup de mathématiciens, même amateurs, continuent à chercher de grands nombres premiers.

Depuis 1992, tous les plus grands nombres premiers connus à une date donnée sont des nombres premiers de Mersenne[1]. En janvier 2018, les dix-sept plus grands nombres premiers connus (à ce sens) sont de Mersenne, tandis que le dix-huitième est un polynôme de nombres de Mersenne[2],[3].

La transformation de Fourier rapide mise en œuvre avec le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne est rapide par rapport à d'autres tests de primalité connus pour d'autres types de nombre. Cette rapidité relative explique la quantité importante de nombres de Mersenne parmi les plus grands nombres premiers connus.

Le record

Le record est détenu par 277 232 917 − 1, nombre de Mersenne par J. Pace, G. Woltman, S. Kurowski, A. Blosser, et al. dans le cadre du programme GIMPS, le [4].

Écrit en base 10, ce nombre comporte 23 249 425 chiffres, soit près d'un million de chiffres supplémentaires par rapport à l'ancien record qui datait de janvier 2016 (cf. infra).

Ses 100 premiers chiffres sont

4 673 331 833 592 310 999 883 355 855 611 155 212 513 211 028 177 144 957 985 823 385 935 679 234 805 211 772 074 843 110 997 402 088…

et les 100 derniers sont :

… 2 223 376 672 925 679 282 131 965 467 343 395 945 397 370 476 369 279 894 627 999 939 614 659 217 371 136 582 730 618 069 762 179 071.

Prix

Le programme Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) offre actuellement une récompense de trois mille dollars aux participants qui téléchargent et exécutent leur logiciel libre, et dont l'ordinateur découvre un nouveau nombre premier de Mersenne ayant moins de 100 millions de chiffres.

Il existe plusieurs prix offerts par l'Electronic Frontier Foundation pour la découverte de nombres premiers[5]. GIMPS coordonne aussi ses efforts à long terme pour les nombres premiers possédant plus de 100 millions de chiffres avec l'Electronic Frontier Foundation pour une récompense de 150 000 dollars pour le participant gagnant.

Histoire

Chronologie comparée des calculs des décimales de π et de nombres premiers.

Le record du plus grand nombre premier connu a presque toujours été trouvé parmi les nombres de Mersenne[6],[2].

Dans la littérature et dans le tableau ci-dessous, les nombres premiers de Mersenne sont identifiés par les notations :

  • Mn, où le nombre n accolé représente le rang dans la suite croissante des nombres premiers de Mersenne ;
  • Mp, où l'indice p indique le nombre premier exposant de 2 dans l'expression 2p – 1 du nombre de Mersenne.

Le nombre qui détint le record le plus longtemps fut M19 = 524 287, pendant 144 ans.

Aucun record n'est attesté avant 1456.

Tableau des records du monde de taille de nombre premiers connus[6],[7]
Date Découvreur Machine Type Désignation Valeur ou nombre de chiffres en base dix
Avant le XVIe siècle, il n'est pas possible de déterminer de manière précise les records de calcul du plus grand nombre premier.
Les documents qui nous sont parvenus permettant de justifier les calculs sont inexistants ou incomplets[8].
1456 anonyme - Nombres de Mersenne M4 = M13 8 191
1460 anonyme - M5 = M17 131 071
1588 Pietro Cataldi - M7 = M19 524 287
1732 Leonhard Euler - Facteur premier du nombre de Fermat F5 6 700 417
1750[9] Leonhard Euler - Nombre de Mersenne M8 = M31 2 147 483 647
1855 Thomas Clausen - - 67 280 421 310 721
1876 Édouard Lucas - Nombre de Mersenne M12 = M127 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727
1951 Aimé Ferrier - - 2148 + 1/17 20 988 936 657 440 586 486 151 264 256 610 222 593 863 921
1951 Miller et Wheeler EDSAC1 de Cambridge Polynôme de nombre de Mersenne 180×(M127)2 + 1 79 chiffres
Robinson SWAC  Nombres de Mersenne M13 = M521 157 chiffres
Robinson SWAC M14 = M607 183 chiffres
Robinson SWAC M15 = M1279 386 chiffres
Robinson SWAC M16 = M2203 664 chiffres
Robinson SWAC M17 = M2281 687 chiffres
Riesel BESK  M18 = M3217 969 chiffres
Hurwitz IBM 7090 M20 = M4423 1 332 chiffres
Gillies  ILLIAC 2 M21 = M9689 2 917 chiffres
Gillies ILLIAC 2 M22 = M9941 2 993 chiffres
Gillies ILLIAC 2 M23 = M11213 3 376 chiffres
Tuckerman  IBM 360/91 M24 = M19937 6 002 chiffres
Noll  et Nickel CDC Cyber 174 M25 = M21701 6 533 chiffres
Noll CDC Cyber 174 M26 = M23209 6 987 chiffres
Nelson  et Slowinski  Cray-1 M27 = M44497 13 395 chiffres
Slowinski Cray-1 M28 = M86243 25 962 chiffres
Slowinski Cray X-MP M30 = M132049 39 751 chiffres
Slowinski Cray X-MP/24 M31 = M216091 65 050 chiffres
1989 Amdahl 6[11] Amdahl 1200 Polynôme de nombres de Mersenne 391581 × M756839 + 391580 =
391 581 × 2756 839 – 1
65 087 chiffres
Slowinski, Gage et al. Cray-2 Nombres de Mersenne M32 = M756839 227 832 chiffres
Slowinski et Gage Cray C90 M33 = M859433 258 716 chiffres
Slowinski et Gage Cray T94 M34 = M1257787 378 632 chiffres
Joël Armengaud, Woltman et al. (Projet GIMPS) Pentium (90 MHz) M35 = M1398269 420 921 chiffres
Gordon Spence, Woltman et al. (Projet GIMPS) Pentium (100 MHz) M36 = M2976221 895 932 chiffres
[12] Clarkson, Woltman, Kurowski et al. (Projet GIMPS) Pentium (200 MHz) M37 = M3021377 909 526 chiffres[12]
Hajratwala, Woltman, Kurowski et al. (Projet GIMPS) Pentium (350 MHz) M38 = M6972593 2 098 960 chiffres
Cameron, Woltman, Kurowski et al. (Projet GIMPS) AMD T-Bird (800 MHz) M39 = M13466917 4 053 946 chiffres
Shafer, Woltman, Kurowski et al., MSU (Projet GIMPS) Pentium (2 GHz) M40 = M20996011 6 320 430 chiffres
Findley, Woltman, Kurowski et al. (Projet GIMPS) Pentium 4 (2,4 GHz) M41[13] =
M24036583
7 235 733 chiffres
Nowak, Woltman, Kurowski et al. (Projet GIMPS) Pentium 4 (2,4 GHz) M42 [14] =
M25964951
7 816 230 chiffres
C. Cooper, S. Boone, G. Woltman, S. Kurowski et al., UCM  (Projet GIMPS) Pentium 4
(2 GHz upgraded to 3 GHz)
M43[14] ?? =
M30402457
9 152 052 chiffres
[15] C. Cooper, S. Boone, G. Woltman, S. Kurowski et al., UCM (Projet GIMPS) Pentium 4 (3 GHz) M44 ??[14] =
M32582657
9 808 358 chiffres[15]
Edson Smith[16], George Woltman, Scott Kurowski et al., UCLA (Projet GIMPS) Intel Core 2 Duo E6600 CPU
(2,4 GHz)
M47 ??[14] =
M43112609
12 978 189 chiffres[17]
C. Cooper, G. Woltman, S. Kurowski et al.,
UCM (Projet GIMPS)
M57885161 17 425 170 chiffres
C. Cooper, G. Woltman, S. Kurowski, A. Blosser et al., UCM (Projet GIMPS) M74207281 22 338 618 chiffres
J. Pace, G. Woltman, S. Kurowski, A. Blosser, et al. (Projet GIMPS) Intel i5-6600 CPU M77232917 23 249 425 chiffres

Notes et références

Notes

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Largest known prime number » (voir la liste des auteurs).

Références

  1. En mai 2018, cependant, le 8e plus grand nombre premier connu était , découvert en 2016, et qui n'est pas de cette forme (voir sur le site de Chris Caldwell la liste des plus grands nombres premiers connus).
  2. a et b Chris Caldwell, « The Largest Known Prime by Year: A Brief History », Prime Pages (consulté le 20 janvier 2016)
  3. Le dernier plus grand nombre premier à ne pas être un nombre de Mersenne est 391 581 ⋅ 2216 193 − 1 ; voir aussi The Largest Known Prime by Year: A Brief History par Caldwell.
  4. « 50th Known Mersenne Prime Discovered », sur www.mersenne.org (consulté le 3 janvier 2018)
  5. (en) « Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize », Electronic Frontier Foundation, Electronic Frontier Foundation, (consulté le 26 novembre 2011)
  6. a et b (en) Chris Caldwell, The Largest Known Prime by Year: A Brief History at The Prime Pages. Part 1 : Before Electronic Computers, Part 2 : The Age of Electronic Computers.
  7. (en) mersenne.org GIMPS : Finding World Record Primes Since 1996.
  8. Delahaye 2000, p. 166-167.
  9. Le huitième nombre de Mersenne (M8) fut trouvé en 1750 mais publié en 1772.
  10. (en) www.isthe.com Site de Landon Curt Noll : Amdahl 6.
  11. a et b (en) « A Large Prime Number », sur Université d'Arizona.
  12. M41 prouvé le premier décembre 2011 comme étant bien le 41e. Voir (en) « Older and lower profile GIMPS Milestones ».
  13. a, b, c et d On ne sait pas s'il existe ou non un ou plusieurs autres nombres premiers de Mersenne entre le 41e (M24 036 583) et le 47e (M43 112 609). Dans cet intervalle, le classement est donc provisoire. Déjà le 29e nombre premier de Mersenne fut découvert après le 30e et le 31e, de même que M43 112 609 fut découvert quinze jours avant M37 156 667, plus petit. De même le 46e (M42 643 801) a été découvert neuf mois après le 47e (M43 112 609).
  14. a et b (en) www.mersenne.org GIMPS : Project Discovers Largest Known Prime Number, 232 582 657 – 1.
  15. (en) primes.utm.edu Titan : Edson Smith.
  16. (en) « prime.isthe.com »(Archive • Wikiwix • Archive.isGoogle • Que faire ?) (consulté le 16 mai 2017) Site de Landon Curt Noll : 243 112 609 – 1 is prime.

Voir aussi

Bibliographie

  • Jean-Paul Delahaye, Merveilleux nombres premiers : voyage au cœur de l'arithmétique, Belin, coll. « Pour la science », , 336 p. (ISBN 2-84245-017-5, ISSN 0224-5159)