Plus grand nombre premier connu

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Depuis octobre 2024, le plus grand nombre premier connu est :

${\displaystyle 2^{136\,279\,841}-1}$

C'est un nombre comportant 41 024 320 chiffres lorsqu'il est écrit en base dix. Il a été découvert le 11 octobre 2024 par le Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) et confirmé le 12 octobre 2024.

Euclide a démontré qu'il n'existe aucun nombre premier qui est plus grand que tous les autres ; ce qui signifie qu'il existe une infinité de nombres premiers. Malgré, ou du fait de, cette absence de limite, beaucoup de mathématiciens, même amateurs, continuent à chercher de grands nombres premiers.

Depuis 1992, tous les plus grands nombres premiers connus à une date donnée sont des nombres premiers de Mersenne^[1]. En octobre 2024, les dix-neuf plus grands nombres premiers connus (à ce sens) sont de Mersenne, tandis que le vingtième est un polynôme de nombres de Mersenne^[2].

La transformation de Fourier rapide mise en œuvre avec le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne est rapide par rapport à d'autres tests de primalité connus pour d'autres types de nombres. Cette rapidité relative explique la quantité importante de nombres de Mersenne parmi les plus grands nombres premiers connus.

Le record est détenu par 2^{136 279 841} − 1, nombre de Mersenne testé premier par Luke Durant dans le cadre du programme GIMPS, le 11 octobre 2024^[3].

Écrit en base dix, ce nombre comporte 41 024 320 chiffres, soit plus de seize millions de chiffres supplémentaires par rapport à l'ancien record qui datait de janvier 2018 (cf. infra).

Ses dix premiers chiffres sont 3886924435..., et les 10 derniers sont ...9486871551.

Il a existé plusieurs prix offerts par l'Electronic Frontier Foundation pour la découverte de nombres premiers de grande taille^[4]. Le programme Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) a gagné les deux derniers en dépassant successivement un million puis 10 millions de chiffres^[4].

GIMPS coordonne aussi ses efforts à long terme pour les nombres premiers possédant plus de 100 millions de chiffres avec l'Electronic Frontier Foundation pour une récompense de 150 000 dollars pour le participant gagnant et une récompense de 250 000 dollars pour un nombre premier ayant plus d'un milliard de chiffres^[4].

Le record du plus grand nombre premier connu a presque toujours été trouvé parmi les nombres de Mersenne^[5],[2].

Dans la littérature et dans le tableau ci-dessous, les nombres premiers de Mersenne sont identifiés par les notations :

• Mn, où le nombre n accolé représente le rang dans la suite croissante des nombres premiers de Mersenne ;
• M_p, où l'indice p indique le nombre premier exposant de 2 dans l'expression 2^p – 1 du nombre de Mersenne.

Le nombre qui détint le record le plus longtemps fut M₁₉ = 524 287, pendant 144 ans.

Aucun record n'est attesté avant 1456.

Tableau des records du monde de taille de nombres premiers connus^[5],[6]

Date	Découvreur	Machine	Type	Désignation	Valeur ou nombre de chiffres en base dix
Avant le XVIe siècle, il n'est pas possible de déterminer de manière précise les records de calcul du plus grand nombre premier. Les documents qui nous sont parvenus permettant de justifier les calculs sont inexistants ou incomplets[7].
1456	anonyme	-	Nombres de Mersenne	M5 = M13	8 191
1460	anonyme	-		M6 = M17	131 071
1588	Pietro Cataldi	-		M7 = M19	524 287
1732	Leonhard Euler	-	Facteur premier du nombre de Fermat F5	${\displaystyle {\tfrac {2^{32}+1}{641}}}$	6 700 417
1750[8]	Leonhard Euler	-	Nombre de Mersenne	M8 = M31	2 147 483 647
1855	Thomas Clausen	-	Facteur premier du nombre de Fermat F6	${\displaystyle {\tfrac {2^{64}+1}{274177}}}$	67 280 421 310 721
1876	Édouard Lucas	-	Nombre de Mersenne	M12 = M127	170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727
1951	Aimé Ferrier	-	-	2148 + 1/17	20 988 936 657 440 586 486 151 264 256 610 222 593 863 921
1951	Miller et Wheeler	EDSAC1 de Cambridge	Polynôme de nombre de Mersenne	180×(M127)2 + 1	79 chiffres
30 janvier 1952	Robinson	SWAC	Nombres de Mersenne	M13 = M521	157 chiffres
30 janvier 1952	Robinson	SWAC		M14 = M607	183 chiffres
25 juin 1952	Robinson	SWAC		M15 = M1279	386 chiffres
7 octobre 1952	Robinson	SWAC		M16 = M2203	664 chiffres
9 octobre 1952	Robinson	SWAC		M17 = M2281	687 chiffres
8 septembre 1957	Riesel	BESK		M18 = M3217	969 chiffres
3 novembre 1961	Hurwitz	IBM 7090		M20 = M4423	1 332 chiffres
11 mai 1963	Gillies	ILLIAC 2		M21 = M9689	2 917 chiffres
16 mai 1963	Gillies	ILLIAC 2		M22 = M9941	2 993 chiffres
2 juin 1963	Gillies	ILLIAC 2		M23 = M11213	3 376 chiffres
4 mars 1971	Tuckerman	IBM 360/91		M24 = M19937	6 002 chiffres
30 octobre 1978	Noll et Nickel	CDC Cyber 174		M25 = M21701	6 533 chiffres
9 février 1979	Noll	CDC Cyber 174		M26 = M23209	6 987 chiffres
8 avril 1979	Nelson et Slowinski	Cray-1		M27 = M44497	13 395 chiffres
25 septembre 1982	Slowinski	Cray-1		M28 = M86243	25 962 chiffres
19 septembre 1983	Slowinski	Cray X-MP		M30 = M132049	39 751 chiffres
1er septembre 1985	Slowinski	Cray X-MP/24		M31 = M216091	65 050 chiffres
1989	Amdahl 6[10]	Amdahl 1200	Polynôme de nombres de Mersenne	391581 × M756839 + 391580 = 391 581 × 2756 839 – 1	65 087 chiffres
19 février 1992	Slowinski, Gage et al.	Cray-2	Nombres de Mersenne	M32 = M756839	227 832 chiffres
10 janvier 1994	Slowinski et Gage	Cray C90		M33 = M859433	258 716 chiffres
3 septembre 1996	Slowinski et Gage	Cray T94		M34 = M1257787	378 632 chiffres
13 novembre 1996	Joël Armengaud, Woltman et al. (Projet GIMPS)	Pentium (90 MHz)		M35 = M1398269	420 921 chiffres
24 août 1997	Gordon Spence, Woltman et al. (Projet GIMPS)	Pentium (100 MHz)		M36 = M2976221	895 932 chiffres
27 janvier 1998[11]	Clarkson, Woltman, Kurowski et al. (Projet GIMPS)	Pentium (200 MHz)		M37 = M3021377	909 526 chiffres[11]
1er juin 1999	Hajratwala, Woltman, Kurowski et al. (Projet GIMPS)	Pentium (350 MHz)		M38 = M6972593	2 098 960 chiffres
14 novembre 2001	Cameron, Woltman, Kurowski et al. (Projet GIMPS)	AMD T-Bird (800 MHz)		M39 = M13466917	4 053 946 chiffres
17 novembre 2003	Shafer, Woltman, Kurowski et al., MSU (Projet GIMPS)	Pentium (2 GHz)		M40 = M20996011	6 320 430 chiffres
15 mai 2004	Findley, Woltman, Kurowski et al. (Projet GIMPS)	Pentium 4 (2,4 GHz)		M41 = M24036583	7 235 733 chiffres
18 février 2005	Nowak, Woltman, Kurowski et al. (Projet GIMPS)	Pentium 4 (2,4 GHz)		M42 = M25964951	7 816 230 chiffres
15 décembre 2005	C. Cooper, S. Boone, G. Woltman, S. Kurowski et al., UCM (Projet GIMPS)	Pentium 4 (2 GHz upgraded to 3 GHz)		M43 = M30402457	9 152 052 chiffres
4 septembre 2006[12]	C. Cooper, S. Boone, G. Woltman, S. Kurowski et al., UCM (Projet GIMPS)	Pentium 4 (3 GHz)		M44 = M32582657	9 808 358 chiffres[12]
23 août 2008	Edson Smith[13], George Woltman, Scott Kurowski et al., UCLA (Projet GIMPS)	Intel Core 2 Duo E6600 CPU (2,4 GHz)		M47 = M43112609	12 978 189 chiffres[14]
25 janvier 2013	C. Cooper, G. Woltman, S. Kurowski et al., UCM (Projet GIMPS)			M48[15] = M57885161	17 425 170 chiffres
7 janvier 2016	C. Cooper, G. Woltman, S. Kurowski, A. Blosser et al., UCM (Projet GIMPS)			M49[16] ?? = M74207281	22 338 618 chiffres
26 décembre 2017	J. Pace, G. Woltman, S. Kurowski, A. Blosser, et al. (Projet GIMPS)	Intel i5-6600 CPU		M50[16] ?? = M77232917	23 249 425 chiffres
7 décembre 2018	Patrick Laroche (Projet GIMPS)	Intel i5-4590T		M51[16] ?? = M82589933	24 862 048 chiffres
21 octobre 2024	Luke Durant (Projet GIMPS)	NVIDIA H100		M52[16] ?? = M136279841[17]	41 024 320 chiffres

• Jean-Paul Delahaye, Merveilleux nombres premiers : voyage au cœur de l'arithmétique, Paris, Belin, coll. « Pour la science », 2000, 336 p. (ISBN 2-84245-017-5, ISSN 0224-5159)

• Nombre de Mersenne premier
• Great Internet Mersenne Prime Search

Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)	Crédit image: David Vignoni (original icon); Flamurai (SVG convertion); bayo (color) licence GPL 🛈
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
Constantes liées aux nombres premiers	Constante de Brun Constante de Legendre Constante de Mills Constante des nombres premiers Constante de Copeland-Erdős
Prime Pages Liste de nombres premiers Liste de suites de nombres premiers

• Arithmétique et théorie des nombres