Nombre premier de Ramanujan

En mathématiques, un nombre premier de Ramanujan est un nombre premier qui satisfait un résultat démontré par Srinivasa Ramanujan relatif à la fonction de compte des nombres premiers.

En 1919, Ramanujan publia une nouvelle démonstration^[1] du postulat de Bertrand qui, dit-il, fut d'abord démontré par Tchebychev. À la fin des deux pages publiées, Ramanujan déduisit un résultat généralisé, qui est :

${\displaystyle \forall n,\ \exists N,\ x\geq N\Rightarrow \pi (x)-\pi (x/2)\geq n}$ ;

en particulier :

${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)\geq 1,2,3,4,5,\dots ~}$ pour tout x ≥ 2, 11, 17, 29, 41, ... (suite A104272 de l'OEIS) respectivement,

où ${\displaystyle \pi (x)}$ est la fonction de compte des nombres premiers, qui est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x.

L'expression de ce résultat est la définition des nombres premiers de Ramanujan, et les nombres 2, 11, 17, 29, 41 sont les plus petits entiers conformes à cette définition. Autrement dit :

Le n-ième premier de Ramanujan est l'entier R_n le plus petit à satisfaire la condition :

${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)\geq n,~}$ pour tout x ≥ R_n^[2].

Une autre façon de formuler ce résultat est :

Les nombres premiers de Ramanujan sont les entiers R_n les plus petits à garantir qu'il y a (au moins) n premiers dans ]x/2, x] pour tout x ≥ R_n.

Puisque R_n est le plus petit entier conforme à ces conditions, il doit être premier. En effet :

Pour tout entier m fixé, pour tout ${\displaystyle x\in [m,m+1[,~}$ ]x/2, x] contient les mêmes entiers ; donc ${\displaystyle \pi (R_{n}-1)-\pi {\big (}(R_{n}-1)/2{\big )}<n.~}$ Or ${\displaystyle \ \pi (R_{n})-\pi (R_{n}/2)\geq n,}$ donc ${\displaystyle ]R_{n}/2,R_{n}]}$ doit contenir plus de premiers que ${\displaystyle ](R_{n}-1)/2,R_{n}-1].}$ Mais il ne peut en contenir qu'un de plus : ce ne peut être que R_n.

Conséquence : ${\displaystyle \ \pi (R_{n})-\pi (R_{n}/2)=n.}$

Par exemple, le nombre de nombres premiers dans ]6,5 ; 13] est trois (ce sont 7, 11, 13). Mais 13 n'est pas le troisième nombre de Ramanujan, car dans ]8 ; 16], il n'y a que deux nombres premiers (ce sont 11, 13). Ce n'est qu'à partir de 17 qu'il y a toujours au moins trois nombres premiers dans ]x/2, x], donc R₃ = 17.

Les plus petits termes de la suite des nombres premiers de Ramanujan sont :

2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, ... (suite A104272 de l'OEIS).

• Pour tout n ≥ 1,

2n ln(2n) < R_n < 4n ln(4n).

• Pour tout n > 1,

p_2n < R_n < p_3n,

où p_n est le n-ième nombre premier.

• Si n tend vers l'infini, R_n est équivalent au 2n-ième premier, c.-à-d. :

R_n ~ p_2n ;

et donc, en utilisant le théorème des nombres premiers,

R_n ~ 2n ln(2n).

Tous ces résultats sont démontrés dans l'ouvrage "Ramanujan primes and Bertrand's postulate"^[3], sauf l'inégalité R_n < p_3n ci-dessus, qui fut conjecturée par Jonathan Sondow et démontrée par Shanta Laishram en 2010.

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Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)	Crédit image: David Vignoni (original icon); Flamurai (SVG convertion); bayo (color) licence GPL 🛈
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
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