Petit groupe

En relativité, on appelle petit groupe le sous-groupe des transformations de Lorentz ${\displaystyle {\Lambda ^{\alpha }}_{\beta }}$ dont les éléments laissent invariant une quadri-impulsion ${\displaystyle p^{\alpha }}$ donnée. Si ${\displaystyle {W^{\alpha }}_{\beta }}$ est un membre de ce groupe, on a donc :

${\displaystyle p^{\alpha }={W^{\alpha }}_{\beta }p^{\beta }}$

(Nous adoptons ici comme métrique lorentzienne ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ de signature ${\displaystyle (+,-,-,-)}$, ainsi que le système d'unités « naturelles » où ${\displaystyle \hbar =c=1}$)

Considérons, par exemple, une particule matérielle de quadri-impulsion ${\displaystyle p^{\alpha }\neq 0}$. Il existe alors un référentiel lorentzien dans lequel cette particule est au repos ; on peut donc y écrire : ${\displaystyle p^{\alpha }={}^{t}(M,0,0,0)}$.

Tout élément du petit groupe correspondant doit donc vérifier : ${\displaystyle p^{\alpha }={W^{\alpha }}_{\beta }p^{\beta }}$. Donc, en particulier : ${\displaystyle p^{0}={W^{0}}_{0}p^{0}(+0+0+0)}$, c'est-à-dire ${\displaystyle {W^{0}}_{0}=1}$.

Pour toutes les autres composantes ${\displaystyle p^{i}=0}$, nous avons : ${\displaystyle p^{i}=0={W^{i}}_{\alpha }p^{\alpha }}$, donc ${\displaystyle {W^{i}}_{0}=0}$.

Considérons maintenant, conformément à la méthode générale sur les groupes de Lie, une transformation du petit groupe ${\displaystyle {W^{\alpha }}_{\beta }}$ arbitrairement proche de l'identité, de sorte que l'on puisse écrire, au premier ordre :

${\displaystyle {W^{\alpha }}_{\beta }={\delta ^{\alpha }}_{\beta }+{\omega ^{\alpha }}_{\beta }}$

où ${\displaystyle {\omega ^{\alpha }}_{\beta }}$ est une transformation infinitésimale. Puisque ${\displaystyle {W^{\alpha }}_{\beta }}$ est une transformation de Lorentz, elle doit vérifier :

${\displaystyle \eta _{\nu \mu }={W^{\alpha }}_{\nu }{W^{\beta }}_{\mu }\eta _{\alpha \beta }}$

Ceci donne, en remplaçant ${\displaystyle {W^{\alpha }}_{\nu }}$ et ${\displaystyle {W^{\beta }}_{\mu }}$ par leurs développements correspondants :

${\displaystyle \eta _{\nu \mu }=({\delta ^{\alpha }}_{\nu }+{\omega ^{\alpha }}_{\nu })({\delta ^{\beta }}_{\mu }+{\omega ^{\beta }}_{\mu })\eta _{\alpha \beta }=({\delta ^{\alpha }}_{\nu }{\delta ^{\beta }}_{\mu }+{\delta ^{\alpha }}_{\nu }{\omega ^{\beta }}_{\mu }+{\delta ^{\beta }}_{\mu }{\omega ^{\alpha }}_{\nu }+...)\eta _{\alpha \beta }}$

${\displaystyle ={\delta ^{\alpha }}_{\nu }{\delta ^{\beta }}_{\mu }\eta _{\alpha \beta }+{\delta ^{\alpha }}_{\nu }{\omega ^{\beta }}_{\mu }\eta _{\alpha \beta }+{\delta ^{\beta }}_{\mu }{\omega ^{\alpha }}_{\nu }\eta _{\alpha \beta }=\eta _{\nu \mu }+{\delta ^{\alpha }}_{\nu }\omega _{\alpha \mu }+{\delta ^{\beta }}_{\mu }\omega _{\beta \nu }=\eta _{\nu \mu }+\omega _{\nu \mu }+\omega _{\mu \nu }}$

D'où : ${\displaystyle \omega _{\nu \mu }+\omega _{\mu \nu }=0}$.

La matrice 4x4 ${\displaystyle \omega _{\nu \mu }}$ est donc antisymétrique, et possède ainsi 6 composantes indépendantes. Avec la condition de nullité des trois composantes ${\displaystyle {W^{i}}_{0}=0}$, on se retrouve avec 3 composantes indépendantes seulement.

Les matrices infinitésimales ${\displaystyle (\omega _{\nu \mu })^{i}}$ sont donc engendrées par trois matrices élémentaires de type ${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}0&0\\0&\epsilon _{ijk}\end{array}}\right)}$. On reconnaît là les trois générateurs du groupe des rotations de R³, ${\displaystyle SO(3)}$.

Le petit groupe est donc ici le groupe ${\displaystyle SO(3)}$, un résultat intuitif attendu.

La quadri-impulsion ne peut prendre que deux autres valeurs physiques :

1. Dans le cas d'une "particule de masse nulle au repos" ${\displaystyle p^{\alpha }=0}$, le petit groupe est évidemment le groupe de Lorentz homogène ${\displaystyle SO(3,1)}$ ;
2. Dans le cas d'une particule de masse nulle se déplaçant à la vitesse de la lumière ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=1,p^{\alpha }={}^{t}(1,1,0,0)}$, le petit groupe est le groupe ${\displaystyle ISO(2)}$ des rotations et translations du plan euclidien.

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