Les matrices de Jacobi sont des matrices symétriques tridiagonales , éventuellement infinies. Leur nom vient du mathématicien allemand Carl Gustav Jakob Jacobi .
Matrice de taille finie
Les matrices de Jacobi de taille finie sont de la forme
J
=
[
b
0
a
0
a
0
b
1
a
1
a
1
⋱
⋱
⋱
⋱
a
n
−
1
a
n
−
1
b
n
]
,
{\displaystyle J=\left[{\begin{array}{ccccc}b_{0}&a_{0}&&&\\a_{0}&b_{1}&a_{1}&&\\&a_{1}&\ddots &\ddots &\\&&\ddots &\ddots &a_{n-1}\\&&&a_{n-1}&b_{n}\end{array}}\right],}
avec
a
n
≠
0
,
b
n
∈
R
.
{\displaystyle a_{n}\neq 0,\quad b_{n}\in \mathbb {R} .}
On montre que
λ
{\displaystyle \lambda }
J
{\displaystyle J}
λ
−
b
0
−
a
0
2
λ
−
b
1
−
a
1
2
λ
−
b
2
−
⋯
a
n
−
1
2
λ
−
b
n
=
0.
{\displaystyle \lambda -b_{0}-{\cfrac {a_{0}^{2}}{\lambda -b_{1}-{\cfrac {a_{1}^{2}}{\lambda -b_{2}-\cdots {\cfrac {a_{n-1}^{2}}{\lambda -b_{n}}}}}}}=0.}
Si l'on réduit la fraction continue en une fraction rationnelle , le numérateur sera le polynôme caractéristique
χ
n
+
1
(
λ
)
{\displaystyle \chi _{n+1}(\lambda )}
J
{\displaystyle J}
Dimension infinie
Considérons deux suites
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
(
b
n
)
{\displaystyle (b_{n})}
a
n
≠
0
{\displaystyle a_{n}\neq 0}
b
n
∈
R
{\displaystyle b_{n}\in \mathbb {R} }
opérateur de Jacobi
J
{\displaystyle J}
espace de suites
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
(
J
u
)
0
=
b
0
u
0
+
a
0
u
1
,
(
J
u
)
n
=
a
n
−
1
u
n
−
1
+
b
n
u
n
+
a
n
u
n
+
1
,
n
>
0.
{\displaystyle (Ju)_{0}=b_{0}u_{0}+a_{0}u_{1},\quad (Ju)_{n}=a_{n-1}u_{n-1}+b_{n}u_{n}+a_{n}u_{n+1},\quad n>0.}
Les opérateurs de Jacobi sont liés à la théorie des polynômes orthogonaux . En effet, si l'on note
P
(
x
)
=
(
P
0
(
x
)
,
P
1
(
x
)
,
P
2
(
x
)
,
.
.
.
)
{\displaystyle P(x)=(P_{0}(x),P_{1}(x),P_{2}(x),...)}
P
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle P_{0}(x)=1}
J
P
(
x
)
=
x
P
(
x
)
{\displaystyle JP(x)=xP(x)}
alors
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
n
{\displaystyle n}
relation de récurrence d'ordre 2 :
a
n
−
1
P
n
−
1
(
x
)
+
b
n
P
n
(
x
)
+
a
n
P
n
+
1
(
x
)
=
x
P
n
(
x
)
{\displaystyle a_{n-1}P_{n-1}(x)+b_{n}P_{n}(x)+a_{n}P_{n+1}(x)=xP_{n}(x)}
pour tout
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
P
−
1
(
x
)
=
0
{\displaystyle P_{-1}(x)=0}
P
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle P_{0}(x)=1}
Par exemple, avec
(
a
n
)
=
(
−
1
,
−
2
,
−
3
,
.
.
.
,
−
n
,
.
.
.
)
{\displaystyle (a_{n})=(-1,-2,-3,...,-n,...)}
(
b
n
)
=
(
1
,
3
,
5
,
.
.
.
,
2
n
+
1
,
.
.
.
)
{\displaystyle (b_{n})=(1,3,5,...,2n+1,...)}
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
polynômes de Laguerre .
Avec
(
a
n
)
=
(
1
/
2
,
1
/
2
,
1
/
2
,
.
.
.
)
{\displaystyle (a_{n})=(1/2,1/2,1/2,...)}
(
b
n
)
=
(
0
,
0
,
0
,
.
.
.
)
{\displaystyle (b_{n})=(0,0,0,...)}
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
polynômes de Tchebychev de seconde espèce.
Voir aussi
Jean Dieudonné, « Fractions continuées et polynômes orthogonaux » Polynômes orthogonaux et applications , Springer, 1985 (lire en ligne ) , p. 1-15 
![{\displaystyle J=\left[{\begin{array}{ccccc}b_{0}&a_{0}&&&\\a_{0}&b_{1}&a_{1}&&\\&a_{1}&\ddots &\ddots &\\&&\ddots &\ddots &a_{n-1}\\&&&a_{n-1}&b_{n}\end{array}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/427417787aa1be99d14c3dd4761a4c0a086e77b9)
