Lemme de Calderón-Zygmund

En mathématiques, le lemme de Calderón-Zygmund est un résultat fondamental en théorie de Fourier, analyse harmonique, et théorie des intégrales singulières . Il porte le nom des mathématiciens Alberto Calderón et Antoni Zygmund.

Pour une fonction intégrable donnée ${\displaystyle f}$ : ℝ^d→ℂ, où ℝ^d dénote l'espace euclidien et ℂ dénote l'ensemble des nombres complexes, le lemme de Calderón-Zygmund donne une manière précise de partitionner ℝ^d en deux ensembles : l'un où ${\displaystyle f}$ est essentiellement petite ; l'autre constitué d'une collection dénombrable de cubes où ${\displaystyle f}$ est essentiellement grande, mais où l'on garde un certain contrôle de la fonction.

Ceci conduit à la décomposition de Calderón-Zygmund de ${\displaystyle f}$ associée à cette partition, dans laquelle ${\displaystyle f}$ est écrite comme la somme d'une « bonne » et d'une « mauvaise » fonction.

Soient ${\displaystyle f}$ : ℝ^d→ℂ une fonction intégrable et ${\displaystyle \alpha }$ une constante strictement positive. Alors il existe des ensembles ${\displaystyle F}$ et ${\displaystyle \Omega }$ tels que :

1. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}=F\cup \Omega }$ et ${\displaystyle F\cap \Omega =\varnothing ;}$
2. ${\displaystyle |f(x)|\leqslant \alpha }$ presque partout dans ${\displaystyle F}$ ;
3. ${\displaystyle \Omega }$ est une union de cubes ${\displaystyle Q_{k}}$, dont les intérieurs sont mutuellement disjoints, et tels que pour tout ${\displaystyle k}$ on ait :

${\displaystyle \alpha <{\frac {1}{m(Q_{k})}}\int _{Q_{k}}|f(x)|~\mathrm {d} x\leqslant 2^{d}\alpha .}$

${\displaystyle f}$ étant donnée comme ci-dessus, on peut écrire ${\displaystyle f}$ comme la somme d'une « bonne » fonction ${\displaystyle g}$ et d'une « mauvaise » fonction ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle f=g+b}$. Pour y parvenir, on définit

${\displaystyle g(x)=\left\{{\begin{array}{cc}f(x),&x\in F,\\{\frac {1}{m(Q_{j})}}\int _{Q_{j}}f(t)~\mathrm {d} t,&x\in Q_{j}^{o},\end{array}}\right.}$

où ${\displaystyle Q_{j}^{o}}$ dénote l'intérieur de ${\displaystyle Q_{j}}$, et on pose ${\displaystyle b=f-g}$. En conséquence, nous avons :

${\displaystyle b(x)=0}$ pour tout ${\displaystyle \scriptstyle x\in F}$

et ${\displaystyle \int _{Q_{j}}b(x)~\mathrm {d} x=0}$ pour chaque cube ${\displaystyle Q_{j}.}$

La fonction ${\displaystyle b}$ a ainsi pour support une collection de cubes sur lesquels ${\displaystyle f}$ est autorisée à être « grande », mais elle a en outre la propriété additionnelle bénéfique que sa valeur moyenne est zéro sur chacun de ces cubes. Simultanément ${\displaystyle \scriptstyle |g(x)|\leqslant \alpha }$ pour presque tout ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle F}$, et sur chaque cube dans ${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle g}$ est égal à la valeur moyenne de ${\displaystyle f}$ sur ce cube, qui grâce au recouvrement choisi est inférieur à ${\displaystyle 2^{d}\alpha }$.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Calderón–Zygmund lemma » (voir la liste des auteurs).
• (en) David Gilbarg et Neil Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, 1983 (ISBN 3-540-41160-7)
• (en) Elias Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, 1970, 287 p. (ISBN 978-0-691-08079-6, lire en ligne)
• (en) Elias Stein et Timothy Murphy, Harmonic Analysis : Real-Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals, Princeton University Press, 1993, 695 p. (ISBN 978-0-691-03216-0, lire en ligne)

• Lemme du soleil levant

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