Lemme de Siegel
En approximation diophantienne, le lemme de Siegel[1] est un théorème d'existence d'une solution non nulle et de grandeur contrôlée à un système d'équations linéaires homogène à coefficients entiers (relatifs) ayant strictement plus d'inconnues que d'équations. Il est d'usage courant dans les démonstrations de transcendance. Les solutions ainsi contrôlées sont obtenues à l'aide de fonctions auxiliaires . L'existence de ces polynômes avait été démontrée par Axel Thue grâce au principe des tiroirs de Dirichlet[2].
Énoncé
L'énoncé le plus simple est le suivant[3] :
Soit une matrice à m lignes et n colonnes, dont les coefficients sont des entiers non tous nuls. Si n > m, alors le système
admet une solution telle que
- .
Enrico Bombieri et Jeffrey Vaaler ont obtenu une majoration plus fine[4], par des techniques de géométrie des nombres.
Références
- (de) Carl Ludwig Siegel, « Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen », Abh. Preuss. Akad. Wiss., Phys. Math. Kl., , p. 41-69 (lire en ligne).
- (de) Axel Thue, « Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen », J. reine angew. Math., vol. 135, , p. 284-305 (lire en ligne).
- (en) Marc Hindry et Joseph H. Silverman, Diophantine Geometry, coll. « GTM » (no 201), (lire en ligne), p. 316.
- (en) E. Bombieri et J. Vaaler, « On Siegel's lemma », Invent. Math., vol. 73, no 1, , p. 11-32 (DOI 10.1007/BF01393823).