Graphe zéro-symétrique

Familles de graphes définies par leurs automorphismes
distance-transitif	→	distance-régulier	←	fortement régulier
↓
symétrique (arc-transitif)	←	t-transitif, $(t \geq 2)$		symétrique gauche
↓
_{(si connexe)} sommet-transitif et arête-transitif	→	régulier et arête-transitif	→	arête-transitif
↓		↓		↓
sommet-transitif	→	régulier	→	_{(si biparti)} birégulier
↑
graphe de Cayley	←	zéro-symétrique		asymétrique

En théorie des graphes, un graphe zéro-symétrique est un graphe cubique tel que pour tout couple de sommets, il existe un unique automorphisme envoyant le premier sur le second^[1]. On parle également de représentation graphique régulière cubique (GRR, pour Graphical Regular Representation) d'un groupe G lorsque le groupe des automorphismes du graphe zéro-symétrique est isomorphe à G^[2].

Propriétés

Un graphe zéro-symétrique est sommet-transitif.

Le plus petit graphe zéro-symétrique possède 18 sommets et 27 arêtes ; il a pour notation LCF [-5,5]⁹.

Le cuboctaèdre tronqué et l'icosidodécaèdre tronqué sont des exemples de graphes zéro-symétriques planaires.

Notes et références

↑ (en) H. S. M. Coxeter, Roberto Frucht et David L. Powers, Zero-Symmetric Graphs: Trivalent Graphical Regular Representations of Groups, Academic Press, 10 mai 2014 (ISBN 978-1-4832-6878-1, lire en ligne)
↑ (en) Lewis A. Nowitz et Mark E. Watkins, « Graphical Regular Representations of Non-Abelian Groups, I », Canadian Journal of Mathematics, vol. 24, n^o 6,‎ décembre 1972, p. 993–1008 (ISSN 0008-414X et 1496-4279, DOI 10.4153/CJM-1972-101-5, lire en ligne, consulté le 21 mai 2020)

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[1] (en) H. S. M. Coxeter, Roberto Frucht et David L. Powers, Zero-Symmetric Graphs: Trivalent Graphical Regular Representations of Groups, Academic Press, 10 mai 2014 (ISBN 978-1-4832-6878-1, lire en ligne)

[2] (en) Lewis A. Nowitz et Mark E. Watkins, « Graphical Regular Representations of Non-Abelian Groups, I », Canadian Journal of Mathematics, vol. 24, n^o 6,‎ décembre 1972, p. 993–1008 (ISSN 0008-414X et 1496-4279, DOI 10.4153/CJM-1972-101-5, lire en ligne, consulté le 21 mai 2020)

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