Formulaire d'optique

Loi de Snell-Descartes

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Si la lumière vient d'en haut: <math> n_2\cdot \sin i_2 = n_1 \cdot \sin i_1</math> entraine

<math> i_2 = \arcsin \left ( \frac{n_1}{n_2} \cdot \sin(i_1) \right )</math> ;

En sens inverse, si la lumière vient d'en bas: tant que i₂ ne dépasse pas l'angle $i\_\{2max\}=\backslash lambda\; =\; \backslash arcsin\; \backslash left\; (\; \backslash frac\{n\_1\}\{n\_2\}\; \backslash cdot\; \backslash right\; )$ on a de la réfraction et on peut écrire :$i\_1\; =\; \backslash arcsin\; \backslash left\; (\; \backslash frac\{n\_2\}\{n\_1\}\; \backslash cdot\; \backslash sin(i\_2)\; \backslash right\; )$ ; si i₂>i_2max, alors on a de la réflexion totale.

Formules du dioptre sphérique

On montre que la relation sur les angles peut aux petits angles, c'est-à-dire dans des conditions de stigmatisme approché, s'écrire:

<math> \frac{n_1.CA_1}{SA_1}= \frac{n_2.CA_2}{SA_2}</math>

<math> \frac{n_1.(a_1-c)}{(a_1-s)}= \frac{n_2.(a_2-c)}{(a_2-s)}</math>

ce que l'on peut écrire après un peu d'algèbre :

<math> \frac{n_1}{(a_1-s)}- \frac{n_2}{(a_2-s)}=\frac{n_1-n_2}{(c-s)}</math>

et en prenant comme origine le point S : ce qui revient à prendre s=0

<math> \frac{n_1}{a_1}- \frac{n_2}{a_2}=\frac{n_1-n_2}{c}</math>

et en utilisant comme notation xo = a1, xi=a2, fo=n1 c/(n1-n2)et fi= - n2 c /(n1-n2):

<math> x_i = \frac {f_i*x_o}{(x_o-f_o)}</math> et de même:

<math> y_i = \frac {-f_o*y_o}{(x_o-f_o)}</math>

Construction géométrique

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Lentille

<math> \frac{n_1}{a_1} - \frac{n_2}{a_2}=\frac{n_1-n_2}{c_1} </math>

et au deuxième dioptre

<math>\frac{n_2}{a_2} - \frac{n_3}{a_3}=\frac{n_2-n_3}{c_2}</math>

En additionnant ces deux formules :

<math> \frac{n_1}{a_1}- \frac{n_3}{a_3}=\frac{n_1-n_2}{c_1}+\frac{n_2-n_3}{c_2}</math>

on obtient la formule des lentilles.

Si les milieux 1 et 3 sont de l'air, d'indice 1 (approxmativement), la formule se simplifie :

<math> \frac{1}{a_1}- \frac{1}{a_3}=\frac{1-n}{c_1}+\frac{n-1}{c_2}=\frac{1}{f}</math>

où

• a₁ et a₃ sont les abscisses de l'objet et de l'image après passage des deux dioptres qui constituent la lentille mince,
• f est l'abscisse du foyer objet et
• f′ = - f est l'abscisse du foyer image.

On trouve aussi comme notation dans les pays anglo-saxons :

• f_o l'abscisse du foyer objet,
• f_i= - f_o est l'abscisse du foyer image,

Si x_o et x_i sont les abscisses de l'objet et de l'image, alors

<math> \frac{1}{x_o}- \frac{1}{x_i}=\frac{1-n}{c_1}+\frac{n-1}{c_2}=\frac{1}{f_o}=\frac{-1}{f_i}</math>

c'est la formule dite de Descartes, qui avec deux lignes d'algèbre s'écrit :

<math> (x_i - f_i)= \frac {f_i \times f_o}{(x_o-f_o)}</math>

formule dite de Newton

On a

<math> x_i = \frac {f_i \times f_o}{(x_o-f_o)} + f_i</math>

et donc

<math> x_i = \frac {f_i \times x_o}{(x_o-f_o)}</math> et de même: <math> y_i = \frac {-f_o \times y_o}{(x_o-f_o)}</math>

Relation de conjugaison d'une lentille mince

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