Fonction de Stumpff

Les fonctions de Stumpff, du nom du mathématicien Karl Stumpff , sont des développements en série entière utilisés en mécanique céleste dans la résolution de l'équation de Kepler.

La fonction ${\displaystyle c_{n}(x)}$ de Stumpff, est définie par :

${\displaystyle c_{n}(x)=\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{\frac {(-1)^{k}}{(2k+n)!}}x^{k}}.}$

La série converge pour tout réel ${\displaystyle x}$.

On remarque que :

• ${\displaystyle c_{0}(x^{2})=\cos(x)}$
• ${\displaystyle c_{1}(x^{2})={\frac {\sin(x)}{x}}=\operatorname {sinc} (x)}$, où sinc désigne le sinus cardinal
• ${\displaystyle c_{2}(x^{2})={\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}}$
• ${\displaystyle c_{3}(x^{2})={\frac {x-\sin(x)}{x^{3}}}}$

Ce sont essentiellement ces quatre fonctions qui interviennent dans la théorie de l'équation de Kepler elliptique.

Il suffit d'utiliser ${\displaystyle c_{n}(-x^{2})}$ pour passer au cas hyperbolique :

• ${\displaystyle c_{0}(-x^{2})=\cosh(x)}$
• ${\displaystyle c_{1}(-x^{2})={\frac {\sinh(x)}{x}}}$

Les fonctions de Stumpff satisfont la relation de récurrence :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\,xc_{n+2}(x)={\frac {1}{n!}}-c_{n}(x)}$

On a également :

${\displaystyle 2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}c_{n}(x)=nc_{n+2}(x)-c_{n+1}(x)}$

Pour tout entier positif n, ${\displaystyle c_{n}(0)={\frac {1}{n!}}}$.

La trajectoire d'un corps soumis aux lois de Kepler est :

• une ellipse si l'énergie est négative
• une branche d'hyperbole si l'énergie est positive
• une parabole si l'énergie est nulle (cas de Barker).

Les formules exprimant le mouvement sont donc différentes dans chaque cas, obligeant donc à considérer différentes fonctions, si par exemple une perturbation finie vient à changer le signe de l'énergie.

Stumpff a compris que les trois cas pouvaient s'exprimer d'une seule façon grâce à « ses » fonctions, qui ne sont que des formes modifiées du développement en série de sin et cos.

• (de) Karl Stumpff, Himmelsmechanik, Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1956, 1965, 1974
• (en) Richard H. Battin, An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, AIAA, 1999 (ISBN 978-1-56347342-5)
• (en) Eduard Stiefel et Gerhard Scheifele, Linear and Regular Celestial Mechanics , Springer-Verlag, 1971 (ISBN 978-0-38705119-2)

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