Fonction d'une variable complexe différentiable au sens réel

Cet article constitue essentiellement une introduction à l'article sur les équations de Cauchy-Riemann. Il définit, pour les fonctions d'une variable complexe et à valeurs complexes, les dérivées partielles (par rapport à ${\displaystyle x,y}$ ou ${\displaystyle z,{\bar {z}}}$) et la différentiabilité au sens réel.

On considère une fonction ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ d'une variable complexe, définie sur un sous-ensemble ouvert U du plan complexe ${\displaystyle \mathbb {C} }$. On utilisera les notations suivantes :

• la variable complexe ${\displaystyle z}$ sera notée ${\displaystyle x+i\,y}$, où x, y sont réels ;
• les parties réelle et imaginaire de ${\displaystyle f(z)=f(x+i\,y)}$ seront notées respectivement ${\displaystyle P(x,y)}$ et ${\displaystyle Q(x,y)}$, c'est-à-dire : ${\displaystyle f(z)=P(x,y)+i\,Q(x,y)}$, où ${\displaystyle P,\,Q}$ sont deux fonctions réelles de deux variables réelles.

Définition  : soit ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+i\,y_{0}\in U}$, où ${\displaystyle x_{0},\,y_{0}}$ sont réels.

• on dit que f admet une dérivée partielle (d'ordre 1) au point ${\displaystyle z_{0}}$ par rapport à la variable x, notée ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})}$ si la limite (finie) ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=\lim _{u\to 0,\,u\,\in \,\mathbb {R} ^{*}}{\frac {f(z_{0}+u)-f(z_{0})}{u}}}$ existe
• on dit que f admet une dérivée partielle (d'ordre 1) au point ${\displaystyle z_{0}}$ par rapport à la variable y, notée ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})}$ si la limite (finie) ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=\lim _{v\to 0,\,v\,\in \,\mathbb {R} ^{*}}{\frac {f(z_{0}+i\,v)-f(z_{0})}{v}}}$ existe

Propriété :

• la dérivée partielle ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})}$ existe si et seulement si les dérivées partielles ${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}}(x_{0},y_{0})}$, ${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}(x_{0},y_{0})}$ existent, et alors ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})={\frac {\partial P}{\partial x}}(x_{0},y_{0})+i\,{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x_{0},y_{0})}$
• la dérivée partielle ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})}$ existe si et seulement si les dérivées partielles ${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}(x_{0},y_{0})}$, ${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial y}}(x_{0},y_{0})}$ existent, et alors ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})={\frac {\partial P}{\partial y}}(x_{0},y_{0})+i\,{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x_{0},y_{0})}$

Dérivées partielles d'ordre supérieur :

• si, par exemple, ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})}$ existe en tout point ${\displaystyle z_{0}\in U}$, on définit la fonction ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}:U\to \mathbb {C} ,\,z\mapsto {\frac {\partial f}{\partial x}}(z)}$
• si, de plus, la fonction ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ admet une dérivée partielle d'ordre 1 au point ${\displaystyle z_{0}}$ par rapport à la variable x, on la note ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(z_{0})}$ : ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(z_{0})={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)(z_{0})}$. De manière analogue, si ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)(z_{0})}$ existe, on la note ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}(z_{0})}$, etc.

Définition  : on suppose que f admette des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y au point ${\displaystyle z_{0}}$. Alors, on définit :

• ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})-i\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})+i\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})\right)}$

Propriété : en conservant les hypothèses précédentes

• ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=i\,\left({\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})-{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})\right)}$

On dit qu'une fonction d'une variable complexe est différentiable au sens réel, ou ${\displaystyle \mathbb {R} }$-différentiable en un point si on peut l'approcher localement (au voisinage de ce point) par la somme d'une constante et d'une fonction ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linéaire ; cette dernière est alors unique, et s'appelle différentielle de la fonction au point considéré.

Plus précisément, cela veut dire que ${\displaystyle f}$, en tant que fonction de deux variables réelles, admet au voisinage du point considéré un développement limité d'ordre 1, dont la différentielle est la partie linéaire.

• Définition  : on dit qu'une application ${\displaystyle L:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ est ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linéaire si : ${\displaystyle \forall \,\alpha \in \mathbb {R} ,\forall \,\beta \in \mathbb {R} ,\forall \,z\in \mathbb {C} ,\forall \,w\in \mathbb {C} ,L(\alpha \,z+\beta \,w)=\alpha L(z)+\beta L(w)}$.
  • (alors : ${\displaystyle \forall u\in \mathbb {R} ,\,\forall v\in \mathbb {R} ,\,L(u+i\,v)=uL(1)+vL(i)}$)

• Définition  : on dit que la fonction ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ est ${\displaystyle \mathbb {R} }$-différentiable en un point ${\displaystyle z_{0}\in U}$ s'il existe une application ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linéaire ${\displaystyle L:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ et une fonction ${\displaystyle \epsilon }$ d'une variable complexe telles que ${\displaystyle \epsilon (h)\to 0}$ lorsque ${\displaystyle h\to 0}$ et ${\displaystyle f(z_{0}+h)=f(z_{0})+L(h)+h\,\epsilon (h)}$ (en supposant que ${\displaystyle |h|<r}$, où r est le rayon d'une boule ouverte telle que ${\displaystyle B(z_{0},\,r)\subset U}$).
  • Lorsqu'elle existe, l'application L est unique (ceci résulte de la propriété suivante) ; on l'appelle ${\displaystyle \mathbb {R} }$-différentielle ou différentielle de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle z_{0}}$ et on la note habituellement ${\displaystyle df(z_{0})}$.
  • On dit que ${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle \mathbb {R} }$-différentiable sur U si elle est ${\displaystyle \mathbb {R} }$-différentiable en tout point de U.

• Propriété : si ${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle \mathbb {R} }$-différentiable en un point ${\displaystyle z_{0}\in U}$, alors :
  • elle est continue en ${\displaystyle z_{0}}$ ;
  • elle admet des dérivées partielles d'ordre 1 en ${\displaystyle z_{0}}$, et ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=L(1)=df(z_{0})(1)}$, ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=L(i)=df(z_{0})(i)}$.

Démonstration :

• continuité : ${\displaystyle f(z_{0}+h)=f(z_{0})+L(h)+h\,\epsilon (h)\to f(z_{0})}$ lorsque ${\displaystyle h\to 0}$ parce que ${\displaystyle L(h)\to 0}$ (la ${\displaystyle \mathbb {R} }$-différentielle L est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, donc elle est continue) et ${\displaystyle h\,\epsilon (h)\to 0}$.
• existence et expression des dérivées partielles d'ordre 1 :
  • pour tout u réel tel que ${\displaystyle |u|<r}$, ${\displaystyle f(z_{0}+u)=f(z_{0})+L(u)+u\,\epsilon (u)=f(z_{0})+uL(1)+u\,\epsilon (u)}$ ; donc, si ${\displaystyle u\neq 0}$, ${\displaystyle {\frac {f(z_{0}+u)-f(z_{0})}{u}}=L(1)+\epsilon (u)\to L(1)}$ lorsque ${\displaystyle u\to 0}$ : ceci prouve l'existence de la dérivée partielle de la fonction ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle z_{0}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$, et la relation ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=L(1)}$
  • pour tout v réel tel que ${\displaystyle |v|<r}$, ${\displaystyle f(z_{0}+i\,v)=f(z_{0})+L(i\,v)+i\,v\,\epsilon (i\,v)=f(z_{0})+vL(i)+i\,v\,\epsilon (i\,v)}$ ; donc, si ${\displaystyle v\neq 0}$, ${\displaystyle {\frac {f(z_{0}+i\,v)-f(z_{0})}{v}}=L(i)+i\,\epsilon (i\,v)\to L(i)}$ lorsque ${\displaystyle v\to 0}$ : ceci prouve l'existence de la dérivée partielle de la fonction ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle z_{0}}$ par rapport à ${\displaystyle y}$, et la relation ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=L(i)}$.

• Théorème : une condition suffisante (non nécessaire) de ${\displaystyle \mathbb {R} }$-différentiabilité en un point, ou sur un ouvert.
  • Soit ${\displaystyle z_{0}\in U}$. Si ${\displaystyle f}$ admet des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y (ou à ${\displaystyle z}$ et ${\displaystyle {\bar {z}}}$) en tout point d'un voisinage de ${\displaystyle z_{0}}$, et si ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$, ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$ (ou ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}}$, ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}}$) sont continues en ${\displaystyle z_{0}}$, alors ${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle \mathbb {R} }$-différentiable en ${\displaystyle z_{0}}$
  • En particulier, si ${\displaystyle f}$ admet des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y (ou à ${\displaystyle z}$ et ${\displaystyle {\bar {z}}}$) définies et continues en tout point de l'ouvert U, la fonction ${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle \mathbb {R} }$-différentiable sur U. Dans ce cas, on dit que ${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle \mathbb {R} }$-continûment différentiable sur U, ou de classe ${\displaystyle C^{1}}$ sur U.

• Fonctions complexes et théorème de d'Alembert.

• variable complexe
• variable (mathématiques)

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