Espace lisse

Soit ${\displaystyle (H,\Vert .\Vert )}$ un espace préhilbertien (réel, par exemple) avec ${\displaystyle \Vert .\Vert ={\sqrt {(.|.)}}}$.

Pour tout ${\displaystyle u\in H\setminus \{0\}}$, tout ${\displaystyle v\in H}$ et tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$ on a

${\displaystyle {\frac {\Vert u+\varepsilon v\Vert -\Vert u\Vert }{\varepsilon }}={\frac {\Vert u+\varepsilon v\Vert ^{2}-\Vert u\Vert ^{2}}{\varepsilon (\Vert u+\varepsilon v\Vert +\Vert u\Vert )}}={\frac {\varepsilon ^{2}\Vert v\Vert ^{2}+2\varepsilon (u|v)}{\varepsilon (\Vert u+\varepsilon v\Vert +\Vert u\Vert )}}={\frac {\varepsilon \Vert v\Vert ^{2}+2(u|v)}{\Vert u+\varepsilon v\Vert +\Vert u\Vert }}}$

où l'on a utilisé les propriétés de bases d'un produit scalaire.

On a alors

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\Vert u+\varepsilon v\Vert -\Vert u\Vert }{\varepsilon }}={\frac {(u|v)}{\Vert u\Vert }}\in \mathbb {R} }$