Espace de James

En mathématiques, et plus précisément en analyse fonctionnelle, l'espace de James est un espace de Banach qui sert souvent de contre-exemple aux affirmations générales concernant la structure des espaces de Banach. Il a été introduit pour la première fois en 1950 dans un court article de Robert C. James^[1].

L'espace de James est isométriquement isomorphe à son bidual, mais n'est pas réflexif. De plus, l'espace de James a une base, mais n'a pas de base inconditionnelle.

Soit ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ l'ensemble des suites finies croissantes d'entiers de longueur impaire. Pour toute suite de nombres réels ${\displaystyle x=(x_{n})}$ et ${\displaystyle p=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{2n+1})\in {\mathcal {P}}}$, on pose

${\displaystyle \|x\|_{p}:=\left(x_{p_{2n+1}}^{2}+\sum _{m=1}^{n}(x_{p_{2m-1}}-x_{p_{2m}})^{2}\right)^{1/2}.}$

L'espace de James, noté J, est défini comme l'ensemble des éléments x de c ₀ satisfaisant ${\displaystyle \sup _{p\in {\mathcal {P}}}\|x\|_{p}<\infty }$, muni de la norme ${\displaystyle \|x\|:=\sup _{p\in {\mathcal {P}}}\|x\|_{p}\ }$.

Source ^[2]:

• L'espace de James est un espace de Banach.
• La base canonique est une base de Schauder de J.
• J n'a pas de base inconditionnelle.
• L'espace de James n'est pas réflexif. Son image dans le bidual par l'injection canonique est de codimension un.
• L'espace de James est cependant isométriquement isomorphe à son bidual.
• Tout sous-espace fermé de dimension infinie de l'espace de James contient un sous-espace réflexif de dimension infinie.

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