Diagramme (logique mathématique)

En théorie des modèles, une branche de la logique mathématique, le diagramme d'une structure est un concept simple mais utile pour prouver des propriétés d'une théorie, comme par exemple la propriété d'amalgamation et le théorème des plongements joints de Robinson.

Soit ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ un langage du premier ordre et ${\displaystyle T}$ une théorie de ${\displaystyle {\mathcal {L}}.}$ Pour un modèle ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ de ${\displaystyle T}$, on étend ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ en un nouveau langage

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}:={\mathcal {L}}\cup \{c_{a}:a\in A\}}$

en ajoutant un nouveau symbole de constante ${\displaystyle c_{a}}$ pour chaque élément ${\displaystyle a}$ dans ${\displaystyle A,}$ où ${\displaystyle A}$ est l'ensemble sous-jacent à ${\displaystyle {\mathfrak {A}}.}$ On peut étendre ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ en la ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}}$-structure

${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{A}:=({\mathfrak {A}},a)_{a\in A}.}$

Le diagramme ${\displaystyle D({\mathfrak {A}})}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ est l'ensemble de toutes les ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}}$-formules closes vraies dans ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{A}}$, c'est-à-dire les ${\displaystyle \varphi (c_{a_{1}},...,c_{a_{n}})}$ avec ${\displaystyle \varphi }$ une ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-formule telle que ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\vDash \varphi (a_{1},...,a_{n})}$

Wilfrid Hodges, Model theory, Cambridge University Press, 1993 (ISBN 9780521304429, lire en ligne )

C. C. Chang et H. Jerome Keisler, Model Theory, Dover Publications, 2012, Third éd., 672 pages

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