Composantes d'un vecteur

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En algèbre linéaire, les composantes d'un vecteur d'un K-espace vectoriel, dans une base donnée, sont une représentation explicite de ce vecteur par une famille de scalaires. Lorsque l'espace est de dimension n sur le corps K, les composantes forment un élément de l'espace vectoriel Kⁿ.

Les composantes des vecteurs (d'un espace vectoriel de dimension finie) permettent de ramener des calculs vectoriels à des calculs sur des tableaux de nombres (n-uplets, matrices, vecteurs colonnes) qui peuvent être effectués explicitement.

Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\right)}$ une base de E.

Alors pour tout vecteur ${\displaystyle v}$ de E, il existe une unique combinaison linéaire des vecteurs de la base, égale à ${\displaystyle v}$ :

${\displaystyle v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n},}$

c'est-à-dire que les scalaires ${\displaystyle \alpha _{i}}$ où ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ sont déterminés de façon unique par ${\displaystyle v}$ et ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

Maintenant, les composantes (ou les coordonnées) de ${\displaystyle v}$ dans la base ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ou relativement à la base ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, sont par définition la famille ${\displaystyle \left(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\right)}$. Les composantes peuvent aussi être représentées en colonne sous forme d'une matrice :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{pmatrix}}.}$.

La matrice est appelée matrice colonne — ou vecteur colonne — des composantes — ou des coordonnées — de ${\displaystyle v}$ dans la base ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

Cette matrice est parfois notée ${\displaystyle M_{\mathcal {B}}(v)}$, ${\displaystyle Mat_{\mathcal {B}}(v)}$ ou encore ${\displaystyle [v]_{\mathcal {B}}}$.

Pour ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$, le scalaire ${\displaystyle \alpha _{i}}$ est appelé la ${\displaystyle i}$-ème composante — ou ${\displaystyle i}$-ème coordonnée — du vecteur ${\displaystyle v}$ dans la base ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

Le mécanisme précédent, qui à un vecteur ${\displaystyle v}$ de E qui fait correspondre ses composantes dans la base ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, peut être décrit par l'application ${\displaystyle \varphi _{\mathcal {B}}}$, définie par

${\displaystyle \forall v\in E,\varphi _{\mathcal {B}}(v)=\left(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\right),}$

où ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ appartiennent à ${\displaystyle K}$ et vérifient ${\displaystyle v=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

Alors ${\displaystyle \varphi _{\mathcal {B}}}$ est une application linéaire de E dans Kⁿ.

C'est même un isomorphisme : sa réciproque ${\displaystyle \varphi _{\mathcal {B}}^{-1}:K^{n}\to E}$ est définie par

${\displaystyle \forall (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in K^{n},\varphi _{\mathcal {B}}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

Il est aussi possible de commencer par définir cette application ${\displaystyle \varphi _{\mathcal {B}}^{-1}}$, de constater que c'est un isomorphisme, puis de définir ${\displaystyle \varphi _{\mathcal {B}}}$ comme l'isomorphisme réciproque.

Soit ${\displaystyle \mathbb {R} _{3}[x]}$ l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3. Cet espace est engendré par

${\displaystyle \{1,x,x^{2},x^{3}\}}$

et la famille ${\displaystyle {\mathcal {B}}=(1,x,x^{2},x^{3})}$ est une base de cet espace.

La matrice colonne des composantes, dans cette base, du polynôme

${\displaystyle p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3},}$

s'écrit ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}.}$

Relativement à cette base, l'opérateur de dérivation ${\displaystyle D}$, qui à ${\displaystyle p}$ associe ${\displaystyle Dp=p'}$, est représenté par la matrice

${\displaystyle Mat_{\mathcal {B}}(D)={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}.}$

En utilisant cette représentation, il est aisé de déterminer les propriétés de l'opérateur, comme l'inversibilité, s'il est hermitien ou anti-hermitien ou rien du tout, son spectre / ses valeurs propres, etc.

Les matrices de Pauli représentent l'opérateur spin lorsque les vecteurs propres correspondant à l'état de spin sont transformés en coordonnées.

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